Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2021

Un satélite natural, de $8\cdot {10}^{10}\text{ kg}$ de masa, gira en una órbita circular a una altura de 800 km sobre la superficie de un cierto planeta $P$.

a) Halle el periodo orbital del satélite. [1 punto]

b) Halle la energía total del satélite. [0,75 puntos]

c) Halle el valor del campo gravitatorio en la superficie del planeta. [0,75 puntos]

Datos: masa del planeta $P$, $M_P=5\cdot {10}^{25}\text{ kg}$; radio del planeta $P$, $R_P=2\cdot {10}^4\text{ km}$; constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La atracción gravitatoria del planeta es la fuerza centrípeta de la órbita circular. De la segunda ley de Newton, escribiendo la velocidad en función del periodo, sale la tercera ley de Kepler:

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{r^3}{G{M}_P}}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r=R_P+h=2\cdot {10}^7+8\cdot {10}^5=\mathrm{2,08}\cdot {10}^7\text{ m}$

$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{{(\mathrm{2,08}\cdot {10}^7)}^3}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5\cdot {10}^{25}}}}$

$T=\mathrm{1,03}\cdot {10}^4\text{ s}$

Es decir, unas $\mathrm{2,87}$ horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En una órbita circular la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía total es la mitad de la potencial:

$E=E_c+E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{P}m}{2r}}$

$E=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5\cdot {10}^{25}\cdot 8\cdot {10}^{10}}{2\cdot \mathrm{2,08}\cdot {10}^7}}$

$E=-\mathrm{6,41}\cdot {10}^{18}\text{ J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un satélite ligado al campo gravitatorio del planeta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El campo gravitatorio en la superficie solo depende de la masa y del radio del planeta:

$g=G{\displaystyle \frac{M_P}{R_P^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 5\cdot {10}^{25}}{{(2\cdot {10}^7)}^2}}$

$g=\mathrm{8,34}{\text{m/s}}^2$

Es un valor parecido al terrestre, aunque el planeta sea mucho mayor y mucho más masivo que la Tierra.