Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Una sonda espacial de 1500 kg describe una trayectoria circular orbitando alrededor de Saturno, realizando una revolución cada 32 horas. Calcule:

a) La velocidad orbital de la sonda y el radio de la órbita de la sonda alrededor del planeta. [1 punto]

b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total de la sonda. [1 punto]

c) La energía mínima que habría que suministrar a la sonda para que abandone el campo gravitatorio de Saturno. [0,5 puntos]

Datos: masa de Saturno, $M_S=\mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}\text{ kg}$; constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{rbita}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{alrededor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{planeta.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza que actúa sobre la sonda es la atracción gravitatoria de Saturno, y como la órbita es circular, esa fuerza es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_S}{r}}}$





Se escribe la velocidad en función del periodo, ya que el movimiento es circular y uniforme:

$v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$

Igualando ambas expresiones se llega a la tercera ley de Kepler, que permite despejar el radio:

${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_S}{r}}\Rightarrow r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_S{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

Se pasa el periodo a segundos:

$T=32\text{ h}\cdot 3600{\displaystyle \frac{\text{s}}{\text{h}}}=\mathrm{1,152}\cdot {10}^5\text{ s}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}\cdot (\mathrm{1,152}\cdot {10}^5{)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{2,34}\cdot {10}^8\text{ m}$

Y con ese radio, la velocidad orbital:

$v={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{2,34}\cdot {10}^8}{\mathrm{1,152}\cdot {10}^5}}=\mathrm{1,27}\cdot {10}^4\text{ m/s}$

La sonda describe una órbita de $\mathrm{2,34}\cdot {10}^8\text{ m}$ de radio a $\mathrm{12,7}\text{ km/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La energía cinética se obtiene directamente de la velocidad orbital:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1500\cdot (\mathrm{1,274}\cdot {10}^4{)}^2=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

La energía potencial gravitatoria, tomando el origen en el infinito:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,68}\cdot {10}^{26}\cdot 1500}{\mathrm{2,34}\cdot {10}^8}}=-\mathrm{2,43}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

La energía total es la suma de las dos, y en una órbita circular resulta ser la mitad de la potencial:

$E=E_c+E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{S}m}{2r}}=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}-\mathrm{2,43}\cdot {10}^{11}=-\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

La energía total es negativa, como corresponde a un cuerpo ligado al campo gravitatorio del planeta.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{suministrar}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sonda}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{abandone}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{gravitatorio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Saturno.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Escapar del campo significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, con energía total cero:

$E_{\text{final}}=E_c(\mathrm{\infty })+E_p(\mathrm{\infty })=0\text{ J}$

La energía que hay que aportar es la diferencia entre ese estado final y el actual:

$\mathrm{\Delta }E=E_{\text{final}}-E=0-(-\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11})$

$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\text{ J}$

Hay que suministrarle como mínimo $\mathrm{1,22}\cdot {10}^{11}\text{ J}$, que es el valor absoluto de su energía total en la órbita, la llamada energía de ligadura.