Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite de 1200 kg de masa describe una órbita circular a una distancia de 2638 km de la superficie de la Tierra. Calcule:

a) El periodo y la velocidad orbital del satélite. [1 punto]

b) La energía cinética, la energía potencial gravitatoria y la energía total del satélite. [1 punto]

c) La relación de la aceleración de la gravedad a esa altura con la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre. [0,5 puntos]

Datos: constante de gravitación universal, $G=\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{kg}}^{-2}$; masa de la Tierra, $M_T=6\cdot {10}^{24}\text{ kg}$; radio de la Tierra, $R_T=6370\text{ km}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{periodo}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{orbital}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza sobre el satélite es la atracción gravitatoria terrestre, que en una órbita circular hace de fuerza centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r^2}}=m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}}$





El radio de la órbita se mide desde el centro de la Tierra, así que hay que sumar el radio terrestre a la altura:

$r=R_T+h=6370+2638=9008\text{ km}=\mathrm{9,008}\cdot {10}^6\text{ m}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{\mathrm{9,008}\cdot {10}^6}}}=\mathrm{6,67}\cdot {10}^3\text{ m/s}$

El periodo se obtiene del movimiento circular uniforme:

$T={\displaystyle \frac{2\pi r}{v}}={\displaystyle \frac{2\pi \cdot \mathrm{9,008}\cdot {10}^6}{\mathrm{6,67}\cdot {10}^3}}$

$T=\mathrm{8,49}\cdot {10}^3\text{ s}$

El satélite tarda unos $\mathrm{8,49}\cdot {10}^3\text{ s}$, es decir, unas $\mathrm{2,36}$ horas, en dar una vuelta completa, y lo hace a $\mathrm{6,67}\text{ km/s}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{cin}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tica,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{gravitatoria}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{energ}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{sat}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{lite.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Con la velocidad orbital ya conocida:

$E_c={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot 1200\cdot (\mathrm{6,665}\cdot {10}^3{)}^2=\mathrm{2,67}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

La energía potencial gravitatoria, con el origen en el infinito:

$E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{r}}=-{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}\cdot 1200}{\mathrm{9,008}\cdot {10}^6}}=-\mathrm{5,33}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

Se observa que en una órbita circular la energía potencial es el doble de la cinética y de signo contrario, de modo que la energía total vale:

$E=E_c+E_p=-G{\displaystyle \frac{M_{T}m}{2r}}=-\mathrm{2,67}\cdot {10}^{10}\text{ J}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{relaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{aceleraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gravedad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{terrestre.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La aceleración de la gravedad es el módulo del campo gravitatorio, que solo depende de la distancia al centro del planeta:

$g=G{\displaystyle \frac{M_T}{r^2}}$

Haciendo el cociente entre el valor en la órbita y el valor en la superficie se simplifican la constante y la masa:

${\displaystyle \frac{g_h}{g_0}}={\displaystyle \frac{G{M}_T\mathrm{/}{r}^2}{G{M}_T\mathrm{/}{R}_T^2}}={\left({\displaystyle \frac{R_T}{r}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{6370}{9008}}\right)}^2$

${\displaystyle \frac{g_h}{g_0}}=\mathrm{0,50}$

Los valores concretos son:

$g_0={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{6,37}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{9,86}{\text{m/s}}^2$

$g_h={\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot 6\cdot {10}^{24}}{(\mathrm{9,008}\cdot {10}^6{)}^2}}=\mathrm{4,93}{\text{m/s}}^2$

A esa altura la gravedad es la mitad que en la superficie terrestre.