Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · Aragón · 2026

La Luna, con masa $M_L$, describe aproximadamente una órbita circular alrededor de la Tierra, de masa $M_T$, con período $T=\mathrm{27,3}$ días.

Utilizando la tercera ley de Kepler, determine la distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna. [1 punto]

Datos: Masa de la Luna ($M_L$): $\mathrm{7,35}\times {10}^{22}$ kg; Masa de la Tierra ($M_T$): $\mathrm{5,97}\times {10}^{24}$ kg; Constante de gravitación universal ($G$): $\mathrm{6,67}\times {10}^{-11}\mathrm{N}{\mathrm{m}}^2\mathrm{/}{\mathrm{k}\mathrm{g}}^2$; Radio de la Luna ($R_L$): $\mathrm{1,74}\times {10}^6$ m.

$\mathbf{\text{Utilizando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera}}\mathbf{\text{ley}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Kepler,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distancia}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{centros}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Tierra}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Luna.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










La única fuerza que actúa sobre la Luna es la atracción gravitatoria de la Tierra, y como la órbita se supone circular esa fuerza es la centrípeta. Por la segunda ley de Newton:

$G{\displaystyle \frac{M_T{M}_L}{r^2}}=M_L{\displaystyle \frac{v^2}{r}}$





La velocidad de un movimiento circular uniforme se relaciona con el periodo mediante $v={\displaystyle \frac{2\pi r}{T}}$, y al sustituirla se obtiene la tercera ley de Kepler:

${\displaystyle \frac{4{\pi }^2{r}^2}{T^2}}={\displaystyle \frac{G{M}_T}{r}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{T^2}{r^3}}={\displaystyle \frac{4{\pi }^2}{G{M}_T}}$

Se despeja la distancia entre los centros:

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{G{M}_T{T}^2}{4{\pi }^2}}}$

El periodo se pasa a segundos:

$T=\mathrm{27,3}\text{d}\acute{\text{ı}}\text{as}=\mathrm{27,3}\cdot 24\cdot 3600=\mathrm{2,3587}\cdot {10}^6\text{ s}$

$r=\sqrt[3]{{\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-11}\cdot \mathrm{5,97}\cdot {10}^{24}{(\mathrm{2,3587}\cdot {10}^6)}^2}{4{\pi }^2}}}=\mathrm{3,83}\cdot {10}^8\text{ m}$

La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna es de $\mathrm{3,83}\cdot {10}^8\text{ m}$, unos 383000 km. Obsérvese que la masa de la Luna no interviene: se simplifica al plantear la segunda ley de Newton.