Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

En un juego se cuenta con el siguiente tablero, de manera que una ficha puede desplazarse de la casilla 1 a la 2; de la 2 puede desplazarse a las casillas 1 y 3; y de la casilla 3 a la casilla 2.



Para decidir el movimiento a realizar en cada turno, se lanza una moneda equilibrada (misma probabilidad de cara y cruz). Si sale cara, se intenta desplazar la ficha a la izquierda; si sale cruz, a la derecha. En caso de no poder realizar el desplazamiento correspondiente, la ficha se queda en la casilla en la que está durante ese turno.

a) Construye un árbol (o una tabla) que muestre las probabilidades de pasar de una casilla a otra en un turno. [0,5 puntos]

b) Si la ficha se encuentra en la casilla 1, ¿cuál es la probabilidad de que tras tres turnos se encuentre de nuevo en la casilla 1? [1 punto]

c) Para comenzar el juego, se procede a un sorteo para ver dónde comienza la ficha. Si la probabilidad de empezar en la casilla 1 es 1/2 y la probabilidad de empezar en la casilla 2 y en la 3 es de 1/4 para cada una, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha esté en cada una de las tres casillas dos turnos después de empezar? [1 punto]

$\textbf{a) Construye un árbol (o una tabla) que muestre las probabilidades de pasar de una casilla a otra en un turno. [0,5 puntos]}$

La moneda está equilibrada, así que en cada turno se intenta ir a la izquierda con probabilidad $\frac{1}{2}$ y a la derecha con probabilidad $\frac{1}{2}$. Lo único que hay que cuidar son los extremos del tablero: desde la casilla 1 no se puede ir a la izquierda y desde la 3 no se puede ir a la derecha, y en esos casos la ficha se queda donde está.

En el árbol, la casilla de partida va a la izquierda y la de llegada a la derecha.



Las mismas probabilidades, dispuestas en una tabla de doble entrada:

Desde	A la casilla 1	A la casilla 2	A la casilla 3 Casilla 1	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	0 Casilla 2	$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$ Casilla 3	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$

$\textbf{b) Si la ficha se encuentra en la casilla 1, ¿cuál es la probabilidad de que tras tres turnos se encuentre de nuevo en la casilla 1? [1 punto]}$

Vamos calculando turno a turno la probabilidad de estar en cada casilla, repartiendo en cada paso lo que hay en una casilla entre sus dos destinos posibles según la tabla anterior. Escribimos esas tres probabilidades como una terna $\left(p_{1},p_{2},p_{3}\right)$.

$\text{Inicio}:\quad (1,\,0,\,0)$

$\text{Turno 1}:\quad \left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{2},\,0\right)$

En el segundo turno, la casilla 1 recibe la mitad de lo que había en la 1 y la mitad de lo que había en la 2; la casilla 2, la mitad de lo que había en la 1; y la casilla 3, la mitad de lo que había en la 2:

$\text{Turno 2}:\quad \left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{4}\right)$

$\text{Turno 3}:\quad \left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{8},\,\dfrac{3}{8},\,\dfrac{1}{4}\right)$

Las tres probabilidades suman 1, como debe ser.

La probabilidad de que la ficha vuelva a estar en la casilla 1 tras tres turnos es $\frac{3}{8}=0{,}375$.

$\textbf{c) Para comenzar el juego, se procede a un sorteo para ver dónde comienza la ficha. Si la probabilidad de empezar en la casilla 1 es 1/2 y la probabilidad de empezar en la casilla 2 y en la 3 es de 1/4 para cada una, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha esté en cada una de las tres casillas dos turnos después de empezar? [1 punto]}$

Es el mismo cálculo del apartado anterior, pero partiendo del reparto que da el sorteo en lugar de la certeza de estar en la casilla 1.

$\text{Inicio}:\quad \left(\dfrac{1}{2},\,\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{4}\right)$

$\text{Turno 1}:\quad \left(\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{3}{8},\,\dfrac{3}{8},\,\dfrac{1}{4}\right)$

$\text{Turno 2}:\quad \left(\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2},\ \dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\right)$

$\text{Turno 2}:\quad \left(\dfrac{3}{8},\,\dfrac{5}{16},\,\dfrac{5}{16}\right)$

Las tres probabilidades vuelven a sumar 1: $\frac{6}{16}+\frac{5}{16}+\frac{5}{16}=1$.

Dos turnos después de empezar, la probabilidad de que la ficha esté en la casilla 1 es $\frac{3}{8}=0{,}375$, y la de que esté en la casilla 2 o en la 3 es $\frac{5}{16}=0{,}3125$ en cada caso.