Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Según estadísticas del Instituto Nacional de Estadística, la probabilidad de que un varón esté en paro es del 12 %, mientras que la de que una mujer lo esté es del 16 %. Además, la probabilidad de ser varón es del 64 % y la de ser mujer del 36 %.

a) Hemos conectado por redes sociales con una persona: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro? [0,75 puntos]

b) Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro? [0,75 puntos]

c) Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en paro: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [0,5 puntos]

Nota informativa: las estadísticas anteriores (y los experimentos) están realizados con personas en disposición de trabajar.

$\textbf{a) Hemos conectado por redes sociales con una persona: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y esté en paro? [0,75 puntos]}$

El experimento tiene dos etapas: primero el sexo de la persona y después su situación laboral. Los porcentajes de paro que da el enunciado son condicionados, porque se refieren a los varones y a las mujeres por separado. Nombramos los sucesos:

$V\equiv$ la persona es un varón, $M\equiv$ la persona es una mujer, $P\equiv$ la persona está en paro

$P(V)=0{,}64\ ;\quad P(M)=0{,}36\ ;\quad P(P|V)=0{,}12\ ;\quad P(P|M)=0{,}16$

El árbol del problema es:



La probabilidad de recorrer una rama completa es el producto de las probabilidades que aparecen en ella:

$P(M\cap P)=P(M)\cdot P(P|M)=0{,}36\cdot0{,}16=0{,}0576$

La probabilidad de que la persona sea mujer y esté en paro es $0{,}0576$, es decir, un $5{,}76\ \%$.

$\textbf{b) Si se elige una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esté en paro? [0,75 puntos]}$

Los sucesos $V$ y $M$ son incompatibles y sus probabilidades suman 1, de modo que forman un sistema completo de sucesos y se puede aplicar el teorema de la probabilidad total: se suman las dos ramas que terminan en paro.

$P(P)=P(V)\cdot P(P|V)+P(M)\cdot P(P|M)$

$P(P)=0{,}64\cdot0{,}12+0{,}36\cdot0{,}16=0{,}0768+0{,}0576=0{,}1344$

La probabilidad de que una persona elegida al azar esté en paro es $0{,}1344$, es decir, un $13{,}44\ \%$.

$\textbf{c) Hemos conectado por redes sociales con una persona que nos ha confesado estar en paro: ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? [0,5 puntos]}$

Ahora se conoce el final del experimento y se pregunta por la rama recorrida: es una probabilidad condicionada que se calcula con el teorema de Bayes, y en el denominador aparece la probabilidad total del apartado anterior.

$P(M|P)=\dfrac{P(M\cap P)}{P(P)}=\dfrac{0{,}0576}{0{,}1344}=\dfrac{3}{7}\approx0{,}4286$

La probabilidad de que la persona sea mujer, sabiendo que está en paro, es $\frac{3}{7}\approx0{,}4286$. Obsérvese que es mayor que el $36\ \%$ que representan las mujeres en el total, precisamente porque su tasa de paro es más alta.