Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Vamos a suponer que durante el año 2023, las llegadas de turistas a nuestro país se realizaron de la siguiente forma: un 55 % llegó en avión, un 30 % llegó en tren, un 10 % llegó en autobús y un 5 % llegó en barco. Además, sabemos que, de todos estos viajeros, visitaron Aragón el 50 % de los que vinieron en avión, el 60 % de los que vinieron en tren, el total de los que viajaron en autobús, y un 20 % de los que vinieron en barco. Con estos datos, se pide:

a) Calcule la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que un turista seleccionado al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón. [1 punto]}$

El experimento tiene dos etapas: primero el medio de transporte con el que llega el turista y después si visita o no Aragón. Los cuatro medios forman un sistema completo de sucesos, porque son incompatibles dos a dos y sus probabilidades suman 1, así que se aplica el teorema de la probabilidad total. Nombramos los sucesos:

$A\equiv$ llegar en avión, $T\equiv$ llegar en tren, $U\equiv$ llegar en autobús, $B\equiv$ llegar en barco

$R\equiv$ visitar Aragón

El árbol del problema es:



Aplicando el teorema de la probabilidad total:

$P(R)=P(A)P(R|A)+P(T)P(R|T)+P(U)P(R|U)+P(B)P(R|B)$

$P(R)=0{,}55\cdot0{,}50+0{,}30\cdot0{,}60+0{,}10\cdot1+0{,}05\cdot0{,}20$

$P(R)=0{,}275+0{,}18+0{,}10+0{,}01=0{,}565$

La probabilidad de que un turista elegido al azar entre los que visitaron España en 2023 haya visitado Aragón es $0{,}565$, es decir, un $56{,}5\ \%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que un turista visitante de Aragón haya hecho su viaje a España en autobús o en tren. [1 punto]}$

Ahora el dato conocido es que el turista ha visitado Aragón y se pregunta por el medio de transporte, es decir, se recorre el árbol en sentido contrario: es una probabilidad condicionada que se resuelve con el teorema de Bayes. Como los sucesos $T$ y $U$ son incompatibles, la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.

$P\left(\left(U\cup T\right)|R\right)=\dfrac{P\left(\left(U\cup T\right)\cap R\right)}{P(R)}=\dfrac{P(U\cap R)+P(T\cap R)}{P(R)}$

$P(U\cap R)=0{,}10\cdot1=0{,}10\ ;\qquad P(T\cap R)=0{,}30\cdot0{,}60=0{,}18$

$P\left(\left(U\cup T\right)|R\right)=\dfrac{0{,}10+0{,}18}{0{,}565}=\dfrac{0{,}28}{0{,}565}=\dfrac{56}{113}\approx0{,}4956$

La probabilidad de que un turista que visitó Aragón hubiera llegado a España en autobús o en tren es $\frac{56}{113}\approx0{,}4956$, algo menos de la mitad.