Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

Una asignatura de matemáticas de la Escuela de Ingeniería y Arquitectura de la Universidad de Zaragoza tiene 99 personas matriculadas (54 alumnas y 45 alumnos). En primera convocatoria aprueban la asignatura 49 personas (28 alumnas y 21 alumnos).

a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos? [1,2 puntos]

b) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,8 puntos]

$\textbf{a) ¿Cuál es el porcentaje de alumnas que aprueban la asignatura en primera convocatoria?, ¿y de alumnos? [1,2 puntos]}$

Conviene empezar ordenando los datos en una tabla de doble entrada; las casillas que no da el enunciado se obtienen por diferencia.

$$	$\text{Aprueban}$	$\text{No aprueban}$	$\text{Total}$ $\text{Alumnas}$	28	26	54 $\text{Alumnos}$	21	24	45 $\text{Total}$	49	50	99

El porcentaje de alumnas que aprueban se calcula sobre el total de alumnas, no sobre el total de personas matriculadas, y lo mismo con los alumnos.

$\dfrac{28}{54}=0{,}5185\ldots\ \Rightarrow\ 51{,}85\ \%$

$\dfrac{21}{45}=0{,}4666\ldots\ \Rightarrow\ 46{,}67\ \%$

Aprueba la asignatura en primera convocatoria el $51{,}85\ \%$ de las alumnas y el $46{,}67\ \%$ de los alumnos.

$\textbf{b) Si elegimos aleatoriamente a una persona que haya aprobado la asignatura en primera convocatoria, ¿cuál es la probabilidad de que sea una mujer? [0,8 puntos]}$

Se pide una probabilidad condicionada: se sabe de antemano que la persona elegida ha aprobado, de modo que el espacio muestral se reduce a las 49 personas aprobadas. Nombramos los sucesos:

$M\equiv$ la persona elegida es una mujer

$A\equiv$ la persona elegida ha aprobado en primera convocatoria

$P(M\,|\,A)=\dfrac{P(M\cap A)}{P(A)}=\dfrac{\frac{28}{99}}{\frac{49}{99}}=\dfrac{28}{49}=\dfrac{4}{7}\approx0{,}5714$

La probabilidad de que una persona elegida al azar entre las que han aprobado en primera convocatoria sea una mujer es $\frac{4}{7}\approx0{,}5714$, es decir, un $57{,}14\ \%$.