Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2020

Tenemos dos esferas metálicas aisladas y muy alejadas entre sí, de radios $R$ (esfera 1) y $2R$ (esfera 2). La esfera 1 está inicialmente cargada con $20\text{ nC}$ y la esfera 2 está inicialmente descargada. Sabemos que el campo eléctrico en la superficie de la esfera 1, mientras que está aislada, es de $18000\text{ V/m}$.

En cierto momento se rompe el aislamiento de las dos esferas conectándolas mediante un conductor muy fino (puede suponerse que este conductor no almacena ninguna carga). Se pide:

a) Calcule el potencial de la esfera 1 cuando se encontraba aislada.

b) Calcule la carga en cada esfera después de conectarlas.

c) Calcule el campo eléctrico en la superficie de la esfera 2 después de conectarlas.

Datos: constante de la ley de Coulomb, $k=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$; $1\text{ nC}={10}^{-9}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{encontraba}}\mathbf{\text{aislada.}}$

El campo eléctrico en la superficie de una esfera conductora cargada es el mismo que crearía una carga puntual situada en su centro:

$E=K{\displaystyle \frac{Q}{R^2}}$

De ahí se despeja el radio, que el enunciado no da explícitamente:

$R=\sqrt{{\displaystyle \frac{KQ}{E}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9\cdot {10}^9\cdot 20\cdot {10}^{-9}}{18000}}}$

$R=\mathrm{0,10}\text{ m}=10\text{ cm}$

Y con él, el potencial de la esfera:

$V_1=K{\displaystyle \frac{Q}{R}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{20\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,10}}}$

$V_1=\mathrm{1,80}\cdot {10}^3\text{ V}$

Obsérvese la relación entre ambas magnitudes: $V=ER$, es decir, $18000\cdot \mathrm{0,10}=1800\text{ V}$, lo que sirve de comprobación rápida.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conectarlas.}}$










Al unirlas con el conductor forman un único conductor, y en el equilibrio electrostático todo conductor está a un mismo potencial:

$K{\displaystyle \frac{Q_1^{\mathrm{\prime }}}{R}}=K{\displaystyle \frac{Q_2^{\mathrm{\prime }}}{2R}}\Rightarrow Q_2^{\mathrm{\prime }}=2Q_1^{\mathrm{\prime }}$

A esta condición se añade la conservación de la carga, ya que el hilo no almacena ninguna.





$Q_1^{\mathrm{\prime }}+Q_2^{\mathrm{\prime }}=Q_1+Q_2=20+0=20\text{ nC}$

Sustituyendo la primera relación en la segunda:

$Q_1^{\mathrm{\prime }}+2Q_1^{\mathrm{\prime }}=20\Rightarrow Q_1^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{20}{3}}=\mathrm{6,67}\text{ nC}$

$Q_2^{\mathrm{\prime }}=2\cdot \mathrm{6,67}=\mathrm{13,3}\text{ nC}$

La carga se reparte en proporción a los radios: la esfera grande, de radio doble, se queda con el doble de carga. La esfera 1 cede dos tercios de la suya, ya que de partida estaba a mayor potencial —la esfera 2 estaba a potencial nulo por estar descargada—.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{conectarlas.}}$

Se aplica de nuevo la expresión del campo en la superficie, ahora con el radio y la carga de la esfera 2:

$E_2=K{\displaystyle \frac{Q_2^{\mathrm{\prime }}}{(2R{)}^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{13,3}\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,20}}^2}}$

$E_2=\mathrm{3,00}\cdot {10}^3\text{ V/m}$

Merece la pena comparar este valor con el campo en la superficie de la esfera pequeña tras la conexión:

$E_1=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,67}\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{0,10}}^2}}=\mathrm{6,00}\cdot {10}^3\text{ V/m}$

Aunque las dos esferas están al mismo potencial, $600\text{ V}$, el campo en la superficie de la pequeña es el doble. Es la razón por la que en los conductores con puntas el campo se concentra en ellas y el aire acaba ionizándose: es el llamado poder de las puntas, en el que se basa el pararrayos.