Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Aragón · 2022

a) ¿Qué potencial electrostático crea una carga puntual $q$ en cualquier punto de su entorno? Explique el significado físico del potencial. [1 punto]

En el punto O, origen de un sistema de coordenadas cartesianas, existe una carga de $-\mathrm{0,05}\text{ nC}$, y en el punto B de coordenadas $(5\text{ cm},0\text{ cm})$, una de $\mathrm{0,09}\text{ nC}$.

b) Determine el punto P situado en el segmento entre O y B en el que el potencial eléctrico se anula. Calcule el potencial eléctrico en el punto Q de coordenadas $(4\text{ cm},0\text{ cm})$. [1 punto]

c) Se deja un electrón en reposo en el punto P. Calcule con qué velocidad llegará al punto Q. [0,5 puntos]

Datos: constante de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\text{ N }{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$; masa del electrón, $m_e=\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}\text{ kg}$; carga del electrón, $q_e=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}\text{ C}$; $1\text{ nC}={10}^{-9}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{crea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathit{q}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{entorno?}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial electrostático creado por una carga puntual $q$ en un punto situado a una distancia $r$ de ella es:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$

El significado físico es el siguiente: el potencial en un punto es el trabajo que hay que realizar contra el campo para traer la unidad de carga positiva desde el infinito hasta ese punto, o lo que es lo mismo, la energía potencial que adquiere allí la unidad de carga positiva.

Es una magnitud escalar y se mide en voltios, que equivalen a julios por culombio. Su signo es el de la carga que lo crea, y como es escalar, el potencial de un sistema de cargas se obtiene sumando algebraicamente los de cada una, sin descomponer en componentes: esta es la gran ventaja de trabajar con potenciales en vez de con campos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P}}\mathbf{\text{situado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segmento}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{O}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{anula.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{Q}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">4</mn><mtext> cm</mtext><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mtext> cm</mtext><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










Sea $x$ la distancia de $P$ al origen. Su distancia a $B$ es entonces $\mathrm{0,05}-x$, y por el principio de superposición:

$V_P=K{\displaystyle \frac{q_O}{x}}+K{\displaystyle \frac{q_B}{\mathrm{0,05}-x}}=0$





Se simplifica la constante y se sustituyen las cargas:

${\displaystyle \frac{-\mathrm{0,05}\cdot {10}^{-9}}{x}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,05}-x}}=0$

$\mathrm{0,09}x=\mathrm{0,05}(\mathrm{0,05}-x)\Rightarrow \mathrm{0,14}x=\mathrm{2,5}\cdot {10}^{-3}$

$x=\mathrm{1,79}\cdot {10}^{-2}\text{ m}$

El potencial se anula en el punto $P(\mathrm{1,79}\text{ cm},0)$, más cerca de la carga pequeña, como cabía esperar.

Para el punto $Q$, las distancias son 4 cm a la carga de $O$ y 1 cm a la de $B$:

$V_Q=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{-\mathrm{0,05}\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,04}}}+{\displaystyle \frac{\mathrm{0,09}\cdot {10}^{-9}}{\mathrm{0,01}}})$

$V_Q=9\cdot {10}^9(-\mathrm{1,25}\cdot {10}^{-9}+\mathrm{9,0}\cdot {10}^{-9})=\mathrm{69,8}\text{ V}$

El potencial en $Q$ vale $\mathrm{69,8}\text{ V}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{electr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{P.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{llegar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{Q.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Sobre el electrón solo actúa la fuerza electrostática, que es conservativa, así que la energía mecánica se conserva:

$\mathrm{\Delta }{E}_c+\mathrm{\Delta }{E}_p=0\Rightarrow E_c=-q_e(V_Q-V_P)=q_e(V_P-V_Q)$

$E_c=-\mathrm{1,6}\cdot {10}^{-19}(0-\mathrm{69,8})=\mathrm{1,12}\cdot {10}^{-17}\text{ J}$

La energía cinética sale positiva, lo que confirma que el movimiento se produce espontáneamente: el electrón, por ser negativo, se mueve hacia los potenciales crecientes.

${\displaystyle \frac{1}{2}}{m}_e{v}^2=\mathrm{1,12}\cdot {10}^{-17}\Rightarrow v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot \mathrm{1,12}\cdot {10}^{-17}}{\mathrm{9,11}\cdot {10}^{-31}}}}$

$v=\mathrm{4,95}\cdot {10}^6\text{ m/s}$

El electrón llega a $Q$ con una velocidad de $\mathrm{4,95}\cdot {10}^6\text{ m/s}$, todavía muy por debajo de la de la luz, así que el tratamiento clásico es válido.