Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Aragón · 2020

a) ¿Qué potencial electrostático crea una carga puntual $q$ en cualquier punto de su entorno? Explique el significado físico del potencial. [1 punto]

b) Dos partículas puntuales de cargas $q_1=30\mu \text{C}$ y $q_2=-20\mu \text{C}$ están situadas respectivamente en los puntos de coordenadas $(-2a,0)$ y $(2a,0)$ con $a=10\text{ cm}$. Determine el vector campo electrostático (módulo, dirección y sentido) en el punto $(0,0)$. [0,75 puntos]

c) ¿Qué trabajo realiza el campo para, en presencia de las cargas citadas, trasladar una carga puntual $q=\mathrm{0,2}\mu \text{C}$ desde el punto $(0,0)$ al punto $(a,0)$? [0,75 puntos]

Datos: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\cdot {\text{C}}^{-2}$; $1\mu \text{C}=1\cdot {10}^{-6}\text{ C}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{potencial}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{crea}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathit{q}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cualquier}}\mathbf{\text{punto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{entorno?}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{significado}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sico}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{potencial.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El potencial electrostático creado por una carga puntual $q$ en un punto situado a una distancia $r$ de ella es:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$

Su significado físico es el trabajo que hay que realizar contra el campo para traer la unidad de carga positiva desde el infinito hasta ese punto, o lo que es lo mismo, la energía potencial que adquiere allí la unidad de carga positiva.

Es una magnitud escalar y se mide en voltios, es decir, en julios por culombio. Su signo es el de la carga que lo crea: positivo si la carga es positiva y negativo si es negativa, y tiende a cero al alejarse indefinidamente.

Por ser escalar, el potencial de un sistema de cargas se obtiene sumando algebraicamente los de cada una, sin necesidad de descomponer en componentes. Y conocido el potencial, el trabajo que hace el campo al trasladar una carga $q$ entre dos puntos es simplemente $W=q(V_A-V_B)$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{(m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{dulo,}}\mathbf{\text{direcci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{sentido)}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext>\hspace{0.17em}</mtext><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$










Las dos cargas están a la misma distancia del origen, $2a=\mathrm{0,20}\text{ m}$.

La carga $q_1$ es positiva y está a la izquierda: su campo en el origen se aleja de ella, hacia la derecha. La carga $q_2$ es negativa y está a la derecha: su campo apunta hacia ella, también hacia la derecha. Los dos se suman.





$E_1=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_1\mathrm{\mid }}{(2a{)}^2}}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{30\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,20}}^2}}=\mathrm{6,75}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

$E_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{(2a{)}^2}}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{20\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,20}}^2}}=\mathrm{4,50}\cdot {10}^6\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec{E}=(\mathrm{6,75}\cdot {10}^6+\mathrm{4,50}\cdot {10}^6)\vec{\mathrm{ı}}=\mathrm{1,125}\cdot {10}^7\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

El campo electrostático en el origen tiene un módulo de $\mathrm{1,125}\cdot {10}^7\text{ N/C}$, dirección la del eje $X$ y sentido positivo, es decir, de la carga positiva hacia la negativa.



El trabajo que realiza el campo al trasladar una carga entre dos puntos es:

$W=q(V_O-V_A)$

Se calculan los dos potenciales por superposición. En el origen, las dos cargas están a $\mathrm{0,20}\text{ m}$:

$V_O=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{30\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,20}}}+{\displaystyle \frac{-20\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,20}}})=\mathrm{4,5}\cdot {10}^5\text{ V}$

En el punto $(a,0)$, es decir, $(\mathrm{0,10};0)$, las distancias son $\mathrm{0,30}\text{ m}$ a $q_1$ y $\mathrm{0,10}\text{ m}$ a $q_2$:

$V_A=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{30\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,30}}}+{\displaystyle \frac{-20\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,10}}})=-\mathrm{9,0}\cdot {10}^5\text{ V}$

$W=\mathrm{0,2}\cdot {10}^{-6}(\mathrm{4,5}\cdot {10}^5+\mathrm{9,0}\cdot {10}^5)$

$W=\mathrm{0,27}\text{ J}$

El campo realiza un trabajo de $\mathrm{0,27}\text{ J}$. Al ser positivo, el desplazamiento es espontáneo: la carga, que es positiva, se mueve por sí sola hacia potenciales decrecientes, atraída por la carga negativa.