Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Aragón · 2024

Conteste a las siguientes preguntas:

a) Explique el concepto de campo eléctrico y dé la expresión del campo electrostático producido por una carga puntual $q$ a una distancia $r$. [0,8 puntos]

b) Calcule el vector campo electrostático producido por el sistema de cargas de la figura en el origen de coordenadas. [1,7 puntos]

Dato: constante de Coulomb, $K=9\cdot {10}^9\text{ N}\cdot {\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Explique}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{concepto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{expresi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{puntual}}\mathit{q}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distancia}}\mathit{r}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[0,8}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El campo eléctrico en un punto es la fuerza que el sistema de cargas ejerce sobre la unidad de carga positiva colocada en él:

$\vec{E}={\displaystyle \frac{\vec{F}}{q_0}}$

Es una magnitud vectorial y se mide en $\text{N/C}$, que equivale a $\text{V/m}$. Para una carga puntual $q$ a una distancia $r$, la ley de Coulomb da:

$\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$

donde ${\vec{u}}_r$ es el vector unitario que va de la carga al punto. El campo se aleja de las cargas positivas y apunta hacia las negativas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{electrost}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cargas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{figura}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{origen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{coordenadas.}}\mathbf{\text{[1,7}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tomamos el origen en $O$, con $\vec{\mathrm{ı}}$ horizontal hacia la derecha y $\vec{\mathrm{ȷ}}$ vertical hacia arriba. En ese sistema las cargas de la figura están en $q_1(0,-\mathrm{1,7})\text{ m}$, $q_2(3,0)\text{ m}$ y $q_3(3,-\mathrm{1,7})\text{ m}$.










Campo de $q_1=1\text{ nC}$, que está debajo de $O$. Al ser positiva, su campo se aleja de ella, es decir, hacia arriba:

$E_1=K{\displaystyle \frac{q_1}{r_1^2}}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{{10}^{-9}}{{\mathrm{1,7}}^2}}=\mathrm{3,11}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_1=\mathrm{3,11}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$





Campo de $q_2=3\text{ nC}$, que está a la derecha de $O$. Es positiva, luego su campo en $O$ apunta hacia la izquierda:

$E_2=K{\displaystyle \frac{q_2}{r_2^2}}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-9}}{3^2}}=\mathrm{3,00}\text{ N/C}$

${\vec{E}}_2=-\mathrm{3,00}\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

Campo de $q_3=-2\text{ nC}$. Su distancia al origen se obtiene por el teorema de Pitágoras:

$r_3=\sqrt{3^2+{\mathrm{1,7}}^2}=\mathrm{3,45}\text{ m}$

$E_3=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_3\mathrm{\mid }}{r_3^2}}=9\cdot {10}^9{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-9}}{{\mathrm{3,45}}^2}}=\mathrm{1,51}\text{ N/C}$

Al ser negativa, su campo apunta desde $O$ hacia la carga, y hay que descomponerlo con el unitario de esa dirección:

${\vec{u}}_3={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{3,45}}}(3,-\mathrm{1,7})=(\mathrm{0,870},-\mathrm{0,493})$

${\vec{E}}_3=\mathrm{1,51}(\mathrm{0,870}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{0,493}\vec{\mathrm{ȷ}})=\mathrm{1,32}\vec{\mathrm{ı}}-\mathrm{0,75}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los tres:

${\vec{E}}_T={\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2+{\vec{E}}_3=(-\mathrm{3,00}+\mathrm{1,32})\vec{\mathrm{ı}}+(\mathrm{3,11}-\mathrm{0,75})\vec{\mathrm{ȷ}}$

${\vec{E}}_T=-\mathrm{1,68}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{2,37}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Su módulo vale:

$E_T=\sqrt{{\mathrm{1,68}}^2+{\mathrm{2,37}}^2}=\mathrm{2,90}\text{ N/C}$

El campo electrostático en el origen es ${\vec{E}}_T=-\mathrm{1,68}\vec{\mathrm{ı}}+\mathrm{2,37}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$, de módulo $\mathrm{2,90}\text{ N/C}$, dirigido hacia arriba y a la izquierda.