Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Dadas las cargas de la figura, de valores $q_1=q_2=q_3=2\mu \text{C}$, y las superficies $S_A$ y $S_B$, calcule razonadamente:

a) El flujo del campo eléctrico creado por las tres cargas a través de la superficie $S_A$.

b) El flujo del campo eléctrico creado por la carga $q_1$ a través de $S_A$.

c) El flujo del campo eléctrico creado por la carga $q_1$ a través de $S_B$.

Dato: ${\epsilon }_0=\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}{\displaystyle \frac{{\text{C}}^2}{\text{N}\cdot {\text{m}}^2}}$.

Los tres apartados se resuelven con la ley de Gauss, según la cual el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada depende únicamente de la carga neta encerrada por ella:

${\mathrm{\Phi }}_E=\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}={\displaystyle \frac{Q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}}$

Lo importante es que no interviene ni la forma de la superficie ni la posición de las cargas dentro de ella, ni tampoco las cargas exteriores.







Según la figura, dentro de $S_A$ están las cargas $q_1$ y $q_2$, mientras que $q_3$ queda fuera. Aunque las tres contribuyen al campo en cada punto de la superficie, en el flujo total solo cuenta la carga encerrada:

$Q_{\text{enc}}=q_1+q_2=2\cdot 2\cdot {10}^{-6}=4\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

${\mathrm{\Phi }}_A={\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}}}=\mathrm{4,52}\cdot {10}^5{\displaystyle \frac{\text{N}{\text{m}}^2}{\text{C}}}$

La carga $q_3$ no aporta nada: sus líneas de campo entran por un lado de $S_A$ y salen por el otro, de modo que el flujo neto que produce es nulo.



Ahora se considera únicamente el campo de $q_1$, que está dentro de la superficie:

$\mathrm{\Phi }={\displaystyle \frac{q_1}{{\epsilon }_0}}={\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{8,85}\cdot {10}^{-12}}}$

$\mathrm{\Phi }=\mathrm{2,26}\cdot {10}^5{\displaystyle \frac{\text{N}{\text{m}}^2}{\text{C}}}$

Es exactamente la mitad del flujo del apartado anterior, como corresponde a que las dos cargas encerradas sean iguales.



La carga $q_1$ está fuera de la superficie $S_B$, según se aprecia en la figura. Por tanto:

$\mathrm{\Phi }={\displaystyle \frac{Q_{\text{enc}}}{{\epsilon }_0}}={\displaystyle \frac{0}{{\epsilon }_0}}=0$

El flujo es nulo. Esto no significa que el campo de $q_1$ sea cero sobre $S_B$ —no lo es en ningún punto—, sino que todas sus líneas de campo que entran en $S_B$ vuelven a salir de ella, de modo que el balance neto es cero.