Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2021

Una esfera de $200\text{ g}$ de masa cargada con una carga de módulo $40\mu \text{C}$ cuelga de un hilo ideal de masa despreciable. Se conecta en la región un campo eléctrico horizontal $E=2\cdot {10}^5\text{ V/m}$ como muestra el esquema y la esfera se mueve a la izquierda hasta topar con una pared, que ejercerá sobre la esfera una fuerza normal $N$. El ángulo que forma la cuerda con la horizontal es $\theta ={30}^{\circ }$.

a) Realice un esquema razonado con las fuerzas presentes en el sistema y determine razonadamente el signo de la carga de la esfera.

b) Escriba las ecuaciones de la estática para este problema y obtenga el valor de la tensión y de la reacción normal de la pared.

c) ¿Para qué valor del campo eléctrico la esfera deja de tocar la pared?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Realice}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{esquema}}\mathbf{\text{razonado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{fuerzas}}\mathbf{\text{presentes}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sistema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{signo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera.}}$










Sobre la esfera actúan cuatro fuerzas:

i) El peso $\vec{P}$, vertical y hacia abajo.

ii) La tensión $\vec{T}$ del hilo, dirigida a lo largo de él y hacia arriba a la derecha.

iii) La fuerza eléctrica ${\vec{F}}_e=q\vec{E}$, horizontal.

iv) La normal $\vec{N}$ de la pared, horizontal y hacia la derecha, ya que una pared solo puede empujar.





El razonamiento sobre el signo es el siguiente. El campo eléctrico apunta hacia la derecha, según el esquema del enunciado. Pero la esfera se ha desplazado hacia la izquierda hasta topar con la pared, de modo que la fuerza eléctrica que la ha empujado tiene que apuntar hacia la izquierda, en sentido contrario al campo.

Como la fuerza eléctrica y el campo son antiparalelos:

${\vec{F}}_e=q\vec{E}\text{ con }{\vec{F}}_e$ opuesta a $\vec{E}\Rightarrow q<0$

La carga de la esfera es negativa.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Escriba}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ecuaciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tica}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tensi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{reacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared.}}$

Como la esfera está en equilibrio, la resultante de las cuatro fuerzas es nula. Descomponiendo en los dos ejes, y teniendo en cuenta que el hilo forma ${30}^{\circ }$ con la horizontal:

$\text{Eje }Y\text{: }T\text{sen}\theta -P=0$

$\text{Eje }X\text{: }T\cos \theta +N-\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }E=0$

De la primera ecuación se obtiene la tensión, ya que es la única que tiene componente vertical además del peso:

$P=mg=\mathrm{0,200}\cdot \mathrm{9,8}=\mathrm{1,96}\text{ N}$

$T={\displaystyle \frac{P}{\text{sen}{30}^{\circ }}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{3,92}\text{ N}$

La fuerza eléctrica vale:

$F_e=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }E=40\cdot {10}^{-6}\cdot 2\cdot {10}^5=\mathrm{8,00}\text{ N}$

Y de la segunda ecuación se despeja la normal:

$N=\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }E-T\cos {30}^{\circ }=\mathrm{8,00}-\mathrm{3,92}\cdot \mathrm{0,866}$

$N=\mathrm{4,61}\text{ N}$

Que salga positiva confirma el planteamiento: la pared efectivamente empuja a la esfera, como debe ser.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{esfera}}\mathbf{\text{deja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tocar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{pared?}}$

La esfera se separa de la pared justo cuando la normal se anula. En ese instante límite el equilibrio se mantiene solo con el peso, la tensión y la fuerza eléctrica:

$T^{\mathrm{\prime }}\cos \theta =\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }{E}^{\mathrm{\prime }}{T}^{\mathrm{\prime }}\text{sen}\theta =P$

Dividiendo la segunda entre la primera se elimina la tensión:

$\tan \theta ={\displaystyle \frac{P}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }{E}^{\mathrm{\prime }}}}\Rightarrow E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{P}{\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }\tan \theta }}$

$E^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}}{40\cdot {10}^{-6}\cdot \tan {30}^{\circ }}}=\mathrm{8,49}\cdot {10}^4\text{ V/m}$

Para $E^{\mathrm{\prime }}=\mathrm{8,49}\cdot {10}^4\text{ V/m}$ la esfera deja de apoyarse en la pared, y para valores menores se separa de ella y cuelga libremente. El campo del enunciado, $2\cdot {10}^5\text{ V/m}$, es bastante mayor, lo que explica que la esfera esté apretada contra la pared.