Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2022

Calcule, para el instante $t=T\mathrm{/}4$, la elongación de un punto cuya distancia a un foco emisor de ondas es $x=\lambda \mathrm{/}4$, sabiendo que la amplitud de la vibración es $2\text{ cm}$ y que la onda se desplaza de izquierda a derecha. ¿Y si viaja en sentido contrario?

Para una onda armónica que se desplaza de izquierda a derecha, es decir, en el sentido positivo del eje $X$, la función de onda es:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t-kx)$

Conviene escribir el argumento en función del periodo y de la longitud de onda, que es como vienen dados los datos:

$y(x,t)=A\text{sen}({\displaystyle \frac{2\pi }{T}}t-{\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}x)$





Se sustituyen el instante y la posición pedidos:

${\displaystyle \frac{2\pi }{T}}\cdot {\displaystyle \frac{T}{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}{\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}\cdot {\displaystyle \frac{\lambda }{4}}={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$y=A\text{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=A\text{sen}(0)$

$y=0\text{ m}$

La elongación es nula. El resultado tiene una lectura física sencilla: en un tiempo $T\mathrm{/}4$ la perturbación ha recorrido exactamente $\lambda \mathrm{/}4$, de modo que acaba de alcanzar al punto considerado. Este empieza a moverse justo en ese instante, y lo hace partiendo de su posición de equilibrio.

Si la onda viaja en sentido contrario, los dos términos del argumento llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx)$

$y=A\text{sen}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}})=A\text{sen}(\pi )$

$y=0\text{ m}$

De nuevo la elongación es nula, aunque por un motivo distinto: ahora el punto no está empezando a moverse, sino que ha completado media oscilación y pasa por el equilibrio bajando. Los dos casos coinciden en el valor de la elongación pero difieren en la velocidad de oscilación, que en el primer caso es positiva y en el segundo, negativa:

$v_y=A\omega \cos (0)=+A\omega \text{frente a}{v}_y=A\omega \cos (\pi )=-A\omega$

con $A=2\text{ cm}=\mathrm{0,02}\text{ m}$.