Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2023

Un claxon se oye hasta una distancia de $2\text{ km}$.

a) Calcule la sensación sonora en dB a $200\text{ m}$.

b) ¿Cuántos cláxones habría que juntar para que a $200\text{ m}$ la sensación sonora fuera de $90\text{ dB}$?

Dato: $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sensaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{dB}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$










Que el claxon «se oiga hasta una distancia de $2\text{ km}$» significa que a esa distancia la intensidad de la onda es justo la umbral del oído humano:

$I(2000\text{ m})=I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$

El foco emite en todas direcciones y la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos, de modo que la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

${\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={\displaystyle \frac{r_2^2}{r_1^2}}$





Se calcula la intensidad a $200\text{ m}$:

$I(200)=I_0{\left({\displaystyle \frac{2000}{200}}\right)}^2={10}^{-12}\cdot 100={10}^{-10}{\text{W/m}}^2$

Y el nivel de intensidad sonora correspondiente:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}=10\log {\displaystyle \frac{{10}^{-10}}{{10}^{-12}}}=10\log 100$

$\beta =20\text{ dB}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{cl}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xones}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{juntar}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">200</mn><mtext> m</mtext></mrow>}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{sensaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sonora}}\mathbf{\text{fuera}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">90</mn><mtext> dB</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}$

Las intensidades de varios focos independientes se suman, de modo que $n$ cláxones iguales producen una intensidad $n$ veces mayor. Primero se obtiene la intensidad que corresponde a los $90\text{ dB}$ pedidos:

$90=10\log {\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{{10}^{-12}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{{10}^{-12}}}={10}^9$

$I^{\mathrm{\prime }}={10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

Y se compara con la intensidad de un solo claxon a esa misma distancia:

$n={\displaystyle \frac{I^{\mathrm{\prime }}}{I(200)}}={\displaystyle \frac{{10}^{-3}}{{10}^{-10}}}={10}^7$

Harían falta diez millones de cláxones. El número es enorme precisamente por lo que mide la escala de decibelios: es logarítmica, y subir $70\text{ dB}$ exige multiplicar la intensidad por diez millones, no sumarle una cantidad fija.