Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2023

En un concierto hay $10000$ personas pidiendo un «bis». Si emplean $\mathrm{1,5}\text{ s}$ en cada grito y la sonoridad a la misma distancia de cada emisor es de $75\text{ dB}$, determine la sonoridad total y la energía total transmitida por el aire a través de $1{\text{cm}}^2$.

Dato: $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$.

Las intensidades de varios focos sonoros independientes se suman, de modo que $10000$ personas gritando a la vez producen una intensidad $10000$ veces la de una sola.

El nivel de intensidad sonora de una persona es:

${\beta }_1=10\log {\displaystyle \frac{I_1}{I_0}}=75\text{ dB}$

Y el del conjunto:

${\beta }_{\text{total}}=10\log {\displaystyle \frac{10000I_1}{I_0}}=10\log {\displaystyle \frac{I_1}{I_0}}+10\log 10000$

${\beta }_{\text{total}}=75+10\cdot 4=115\text{ dB}$

Obsérvese lo que dice la escala logarítmica: multiplicar por diez mil el número de emisores solo añade $40\text{ dB}$ al nivel sonoro.

Para la energía transmitida se necesita antes la intensidad total, que se despeja de la definición de nivel:

$115=10\log {\displaystyle \frac{I_{\text{total}}}{{10}^{-12}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_{\text{total}}}{{10}^{-12}}}={10}^{\mathrm{11,5}}$

$I_{\text{total}}={10}^{-12}\cdot \mathrm{3,16}\cdot {10}^{11}=\mathrm{0,316}{\text{W/m}}^2$

La intensidad es la potencia que atraviesa la unidad de superficie, así que la energía que pasa por una superficie $S$ durante un tiempo $t$ es:

$E=ISt$

Se expresa la superficie en unidades del Sistema Internacional:

$S=1{\text{cm}}^2={10}^{-4}{\text{m}}^2$

$E=\mathrm{0,316}\cdot {10}^{-4}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{4,74}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$

La sonoridad total es de $115\text{ dB}$ —al borde del umbral del dolor— y por cada centímetro cuadrado pasan solo $\mathrm{4,74}\cdot {10}^{-5}\text{ J}$ durante el grito. La energía asociada al sonido es siempre muy pequeña; lo que hace daño es la potencia por unidad de superficie, no la energía total.