Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2024

En una fábrica se están instalando alarmas contra incendios. Para medir la intensidad del sonido que generan se hace sonar una de ellas a $150\text{ m}$ de un receptor, donde se mide una intensidad de $\mathrm{0,20}{\text{W/m}}^2$. Calcule el nivel de intensidad sonora correspondiente a esa lectura inicial. ¿A qué distancia habría que colocarse de ella para que el nivel de intensidad sonora fuera el máximo que permite la ley, $90\text{ dB}$?

Dato: intensidad umbral del oído humano, $I_0={10}^{-12}{\text{W/m}}^2$.

El nivel de intensidad sonora se define, a partir de la intensidad umbral del oído humano, como:

$\beta =10\log {\displaystyle \frac{I}{I_0}}$

Se sustituyen los datos de la lectura inicial:

${\beta }_1=10\log {\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{{10}^{-12}}}=10\log (2\cdot {10}^{11})$

${\beta }_1=\mathrm{113,0}\text{ dB}$





Para la segunda parte se usa que la alarma emite en todas direcciones, de modo que la potencia se reparte sobre frentes de onda esféricos y la intensidad decae con el cuadrado de la distancia:

$I={\displaystyle \frac{P}{4\pi r^2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}={\displaystyle \frac{r_2^2}{r_1^2}}$

Primero se obtiene la intensidad que corresponde a $90\text{ dB}$:

$90=10\log {\displaystyle \frac{I_2}{{10}^{-12}}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{I_2}{{10}^{-12}}}={10}^9$

$I_2={10}^{-3}{\text{W/m}}^2$

Y se despeja la distancia:

$r_2=r_1\sqrt{{\displaystyle \frac{I_1}{I_2}}}=150\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{{10}^{-3}}}}=150\sqrt{200}$

$r_2=\mathrm{2,12}\cdot {10}^3\text{ m}$

El nivel inicial es de $\mathrm{113,0}\text{ dB}$ y hay que situarse a unos $\mathrm{2,12}\text{ km}$ de la alarma para que baje a los $90\text{ dB}$ que permite la ley.