Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Castilla-La Mancha · 2024

Un vibrador a $400\text{ Hz}$ genera una onda armónica en una cuerda que se propaga en sentido negativo del eje $x$ con una longitud de onda de $2\text{ m}$. La velocidad máxima con que oscila un punto cualquiera de la onda es $100\text{ m/s}$. Determine:

a) La frecuencia angular y el número de ondas.

b) La amplitud de las ondas y su velocidad de propagación por la cuerda.

c) Teniendo en cuenta que un punto situado en $x=0$ cuando $t=300\mu \text{s}$ presenta una elongación de $1\text{ cm}$ y velocidad de oscilación positiva, determine el desfase de la onda (en radianes) y escriba su función de onda completa.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{frecuencia}}\mathbf{\text{angular}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ondas.}}$

La frecuencia angular y el número de ondas se obtienen directamente de la frecuencia y de la longitud de onda que da el enunciado:

$\omega =2\pi f=2\pi \cdot 400=800\pi =\mathrm{2,51}\cdot {10}^3\text{ rad/s}$

$k={\displaystyle \frac{2\pi }{\lambda }}={\displaystyle \frac{2\pi }{2}}=\pi =\mathrm{3,14}\text{ rad/m}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{ondas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{propagaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cuerda.}}$

Conviene no confundir las dos velocidades que aparecen en una onda: la de propagación, con la que avanza la perturbación por la cuerda, y la de oscilación, con la que cada punto se mueve arriba y abajo. El enunciado da esta última.

La velocidad de oscilación es la derivada temporal de la elongación, y su valor máximo se alcanza al pasar por la posición de equilibrio:

$v_{y,\max }=A\omega \Rightarrow A={\displaystyle \frac{v_{y,\max }}{\omega }}$

$A={\displaystyle \frac{100}{800\pi }}=\mathrm{3,98}\cdot {10}^{-2}\text{ m}=\mathrm{3,98}\text{ cm}$

La velocidad de propagación es la que relaciona la longitud de onda con la frecuencia:

$v=\lambda f=2\cdot 400=800\text{ m/s}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desfase}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{radianes)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{escriba}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{onda}}\mathbf{\text{completa.}}$

La onda avanza en el sentido negativo del eje $X$, de modo que los términos espacial y temporal llevan el mismo signo:

$y(x,t)=A\text{sen}(\omega t+kx+{\phi }_0)$

Se impone la condición del enunciado en $x=0$ y $t=3\cdot {10}^{-4}\text{ s}$:

$\mathrm{0,01}=\mathrm{3,98}\cdot {10}^{-2}\text{sen}(800\pi \cdot 3\cdot {10}^{-4}+{\phi }_0)$

$\text{sen}(\mathrm{0,754}+{\phi }_0)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}}{\mathrm{3,98}\cdot {10}^{-2}}}=\mathrm{0,251}$

lo que deja dos posibilidades para el argumento del seno:

$\mathrm{0,754}+{\phi }_0=\mathrm{0,254}\text{ rad}\text{o}\mathrm{0,754}+{\phi }_0=\pi -\mathrm{0,254}=\mathrm{2,888}\text{ rad}$

La condición de que la velocidad de oscilación sea positiva permite elegir entre ellas:

$v_y=A\omega \cos (\omega t+kx+{\phi }_0)>0\Rightarrow \cos (\omega t+{\phi }_0)>0$

El coseno solo es positivo en el primer caso, así que:

${\phi }_0=\mathrm{0,254}-\mathrm{0,754}=-\mathrm{0,50}\text{ rad}$

Y la función de onda completa, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=\mathrm{3,98}\cdot {10}^{-2}\text{sen}(800\pi t+\pi x-\mathrm{0,50})\text{ m}$