Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Tres cargas, $A$, $B$ y $C$, se colocan en los puntos $(-1,0)$, $(2,0)$ y $(1,2)$ respectivamente, como se muestra en el esquema (coordenadas en metros). Las cargas $A$ y $B$ valen $2\mu \text{C}$, y sabemos que el potencial en el punto $(0,1)$ es $1\mathrm{685,9}\text{ V}$.

a) Determine el valor de la carga $C$.

b) Calcule el trabajo necesario para mover una carga de $5\mu \text{C}$ desde el punto $(0,1)$ hasta $(1,0)$. Interprete el signo del trabajo obtenido.

c) Determine el valor del vector campo eléctrico en este último punto $(1,0)$ debido a las cargas $A$, $B$ y $C$.

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$

El potencial eléctrico es una magnitud escalar, así que por el principio de superposición basta sumar el creado por cada carga, sin preocuparse de direcciones:

$V=K{\displaystyle \frac{q}{r}}$

Las distancias desde cada vértice hasta el punto $(0,1)$ son:

$r_A=\mathrm{\mid }(0,1)-(-1,0)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(1,1)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}=\mathrm{1,41}\text{ m}$

$r_B=\mathrm{\mid }(0,1)-(2,0)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(-2,1)\mathrm{\mid }=\sqrt{5}=\mathrm{2,24}\text{ m}$

$r_C=\mathrm{\mid }(0,1)-(1,2)\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }(-1,-1)\mathrm{\mid }=\sqrt{2}=\mathrm{1,41}\text{ m}$

Por tanto, el potencial en ese punto es:

$V_{(0,1)}=K({\displaystyle \frac{q_A}{r_A}}+{\displaystyle \frac{q_B}{r_B}}+{\displaystyle \frac{q_C}{r_C}})=1\mathrm{685,9}\text{ V}$

Se calcula la aportación de las dos cargas conocidas:

$K{\displaystyle \frac{q_A}{r_A}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\sqrt{2}}}=\mathrm{1,27}\cdot {10}^4\text{ V}$

$K{\displaystyle \frac{q_B}{r_B}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{\sqrt{5}}}=\mathrm{8,05}\cdot {10}^3\text{ V}$

Y se despeja la carga que falta:

$K{\displaystyle \frac{q_C}{r_C}}=1\mathrm{685,9}-\mathrm{1,27}\cdot {10}^4-\mathrm{8,05}\cdot {10}^3=-\mathrm{1,91}\cdot {10}^4\text{ V}$

$q_C={\displaystyle \frac{-\mathrm{1,91}\cdot {10}^4\cdot \sqrt{2}}{9\cdot {10}^9}}=-\mathrm{3,0}\cdot {10}^{-6}\text{ C}$

La carga situada en $C$ vale $-3\mu \text{C}$. Que salga negativa era previsible: las dos cargas positivas por sí solas crean en ese punto un potencial de unos $21000\text{ V}$, muy superior al del enunciado.



Primero se calcula el potencial en el punto de llegada. Las distancias desde cada carga hasta $(1,0)$ son:

$r_A=\mathrm{\mid }(1,0)-(-1,0)\mathrm{\mid }=2\text{ m}{r}_B=\mathrm{\mid }(1,0)-(2,0)\mathrm{\mid }=1\text{ m}{r}_C=\mathrm{\mid }(1,0)-(1,2)\mathrm{\mid }=2\text{ m}$

$V_{(1,0)}=9\cdot {10}^9({\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{2}}+{\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{1}}+{\displaystyle \frac{-3\cdot {10}^{-6}}{2}})$

$V_{(1,0)}=9\cdot {10}^9\cdot \mathrm{1,5}\cdot {10}^{-6}=\mathrm{1,35}\cdot {10}^4\text{ V}$

El trabajo que realiza el campo eléctrico al trasladar una carga entre dos puntos es:

$W=q(V_{\text{inicial}}-V_{\text{final}})$

$W=5\cdot {10}^{-6}(1\mathrm{685,9}-\mathrm{1,35}\cdot {10}^4)=-\mathrm{5,91}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$

El trabajo del campo es negativo, lo que significa que el desplazamiento no es espontáneo: el campo se opone a él. Para llevar la carga de $(0,1)$ a $(1,0)$ hay que aplicar una fuerza externa que aporte $\mathrm{5,91}\cdot {10}^{-2}\text{ J}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{vector}}\mathbf{\text{campo}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ctrico}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{ltimo}}\mathbf{\text{punto}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">1</mn><mo\; separator="true">,</mo><mn\; mathvariant="bold">0</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{debido}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{cargas}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathit{B}\mathbf{\text{y}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}$










El campo creado por una carga puntual es:

$\vec{E}=K{\displaystyle \frac{q}{r^2}}{\vec{u}}_r$

y sale de las cargas positivas y entra en las negativas.

Campo creado por $A(-1,0)$, a $2\text{ m}$, dirigido en el sentido $+X$:

${\vec{E}}_A=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{2^2}}\vec{\mathrm{ı}}=4500\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$





Campo creado por $B(2,0)$, a $1\text{ m}$, dirigido en el sentido $-X$:

${\vec{E}}_B=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{2\cdot {10}^{-6}}{1^2}}(-\vec{\mathrm{ı}})=-18000\vec{\mathrm{ı}}\text{ N/C}$

Campo creado por $C(1,2)$, a $2\text{ m}$. Como la carga es negativa el campo apunta hacia ella, es decir, en el sentido $+Y$:

${\vec{E}}_C=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{3\cdot {10}^{-6}}{2^2}}\vec{\mathrm{ȷ}}=6750\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Por el principio de superposición:

$\vec{E}={\vec{E}}_A+{\vec{E}}_B+{\vec{E}}_C=-13500\vec{\mathrm{ı}}+6750\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N/C}$

Y su módulo:

$\mathrm{\mid }\vec{E}\mathrm{\mid }=\sqrt{13{500}^2+6{750}^2}=\mathrm{1,51}\cdot {10}^4\text{ N/C}$