Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Se tienen dos cargas puntuales: $q_1=5\text{ nC}$ en el punto de coordenadas $(a,a)$ y $q_2=-5\text{ nC}$ en el punto de coordenadas $(-a,-a)$. Las posiciones están en metros.

a) Haga un esquema de las cargas y dibuje el vector campo eléctrico en los puntos de coordenadas $(-a,a)$ y $(a,-a)$.

b) Sabiendo que en el punto $(-a,a)$ una carga $q_0=4\text{ nC}$ experimenta una fuerza $\vec{F}=-5\cdot {10}^{-9}\vec{\mathrm{ı}}-5\cdot {10}^{-9}\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ (N)}$, determine el valor de $a$.

Dato: $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2\mathrm{/}{\text{C}}^2$.

Las dos cargas están sobre la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y los puntos pedidos, sobre la otra diagonal. Los cuatro puntos forman un cuadrado de diagonal $2a\sqrt{2}$.

La distancia de cada carga a cada uno de esos dos puntos es la misma:

$r=\mathrm{\mid }(-a,a)-(a,a)\mathrm{\mid }=2a$

$r=\mathrm{\mid }(-a,a)-(-a,-a)\mathrm{\mid }=2a$





El campo de la carga positiva $q_1$ sale de ella, y el de la negativa $q_2$ entra en ella. En el punto $M(-a,a)$:

${\vec{E}}_1=K{\displaystyle \frac{q_1}{(2a{)}^2}}(-\vec{\mathrm{ı}}){\vec{E}}_2=K{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }{q}_2\mathrm{\mid }}{(2a{)}^2}}(-\vec{\mathrm{ȷ}})$

Como las dos cargas tienen el mismo valor absoluto y están a la misma distancia, los dos campos tienen igual módulo y son perpendiculares entre sí. El campo resultante es su diagonal, dirigida hacia el tercer cuadrante, paralela a la línea que une las dos cargas y con sentido de la positiva a la negativa.

En el punto $(a,-a)$ ocurre exactamente lo mismo por simetría: el campo resultante tiene el mismo módulo y la misma dirección y sentido que en $M$.



La fuerza sobre la carga de prueba es:

$\vec{F}=q_0\vec{E}=q_0({\vec{E}}_1+{\vec{E}}_2)$

Escribiendo las dos componentes por separado, y como el módulo de los dos campos es el mismo:

$F_x=-q_{0}K{\displaystyle \frac{q_1}{(2a{)}^2}}{F}_y=-q_{0}K{\displaystyle \frac{q_1}{(2a{)}^2}}$

lo que explica que las dos componentes de la fuerza del enunciado sean iguales. Basta imponer una de ellas:

$q_{0}K{\displaystyle \frac{q_1}{4a^2}}=5\cdot {10}^{-9}$

$4\cdot {10}^{-9}\cdot 9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{5\cdot {10}^{-9}}{4a^2}}=5\cdot {10}^{-9}$

Se despeja:

$a^2={\displaystyle \frac{4\cdot {10}^{-9}\cdot 9\cdot {10}^9\cdot 5\cdot {10}^{-9}}{4\cdot 5\cdot {10}^{-9}}}=9$

$a=3\text{ m}$

Las cargas están, por tanto, en los puntos $(3,3)$ y $(-3,-3)$, separadas entre sí $6\sqrt{2}=\mathrm{8,49}\text{ m}$.