Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2023

Dos cargas positivas iguales $q_1$ y $q_2$ de valor $10\mu \text{C}$ se sitúan en la base de un triángulo isósceles, separadas una distancia $a=6\text{ cm}$. La altura del triángulo es $4\text{ cm}$. En el punto medio de la base del triángulo $(P)$ se sitúa una tercera carga $q_3$ de valor $50\mu \text{C}$. Cuando la soltamos se mueve y pasa por el vértice superior del triángulo. Teniendo en cuenta que $K=9\cdot {10}^9\text{ N}{\text{m}}^2{\text{C}}^{-2}$:



a) Determine la energía potencial de $q_3$ en su posición original y en el vértice superior.

b) Determine la fuerza sobre $q_3$ en la posición inicial y en la final, así como su módulo.

c) Si sale desde el reposo en $P$, ¿con qué velocidad pasará la carga por el vértice si tiene una masa de $\mathrm{2,4}\text{ g}$?

La energía potencial de una carga situada en un punto es el producto de su carga por el potencial que crean allí las demás:

$E_p=q_{3}V=q_{3}K({\displaystyle \frac{q_1}{r_1}}+{\displaystyle \frac{q_2}{r_2}})$

En la posición inicial $P$, punto medio de la base, la carga está a la mitad de la base de cada una de las otras dos:

$r_1=r_2={\displaystyle \frac{6}{2}}=3\text{ cm}=\mathrm{0,03}\text{ m}$





$E_p(P)=9\cdot {10}^9\cdot 50\cdot {10}^{-6}({\displaystyle \frac{10\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,03}}}+{\displaystyle \frac{10\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,03}}})$

$E_p(P)=\mathrm{3,00}\cdot {10}^2\text{ J}$

En el vértice superior, la distancia a cada una de las cargas de la base es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forman media base y la altura:

$r_1=r_2=\sqrt{3^2+4^2}=5\text{ cm}=\mathrm{0,05}\text{ m}$

$E_p(V)=9\cdot {10}^9\cdot 50\cdot {10}^{-6}\cdot 2\cdot {\displaystyle \frac{10\cdot {10}^{-6}}{\mathrm{0,05}}}=\mathrm{1,80}\cdot {10}^2\text{ J}$

La energía potencial disminuye al subir al vértice, de $300\text{ J}$ a $180\text{ J}$, lo que explica que la carga se mueva sola en ese sentido: se aleja de las dos cargas que la repelen.



En la posición inicial, la carga $q_3$ está en el punto medio de la base, equidistante de dos cargas iguales y alineada con ellas. Las dos repulsiones tienen el mismo módulo y sentidos opuestos:

$\vec{F}(P)={\vec{F}}_1+{\vec{F}}_2=\vec{0}$

Es una posición de equilibrio, aunque inestable: cualquier desplazamiento lateral la rompe, y de hecho es lo que ocurre en el enunciado.

En el vértice superior el módulo de cada una de las dos fuerzas es:

$F_1=F_2=K{\displaystyle \frac{q_3{q}_1}{r^2}}=9\cdot {10}^9\cdot {\displaystyle \frac{50\cdot {10}^{-6}\cdot 10\cdot {10}^{-6}}{{\mathrm{0,05}}^2}}=\mathrm{1,80}\cdot {10}^3\text{ N}$

Por simetría, las componentes horizontales se anulan entre sí y solo sobreviven las verticales. Cada fuerza forma con la vertical el mismo ángulo que la hipotenusa del triángulo $3\text{-}4\text{-}5$, de modo que su componente vertical es $4\mathrm{/}5$ del módulo:

$F=2F_1\cdot {\displaystyle \frac{4}{5}}=2\cdot \mathrm{1,80}\cdot {10}^3\cdot \mathrm{0,8}$

$\vec{F}(V)=\mathrm{2,88}\cdot {10}^3\vec{\mathrm{ȷ}}\text{ N}$

El módulo es $\mathrm{2,88}\cdot {10}^3\text{ N}$ y la dirección, la vertical hacia arriba, alejándose de la base.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sale}}\mathbf{\text{desde}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{reposo}}\mathbf{\text{en}}\mathit{P}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{¿con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{pasar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{carga}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{v}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rtice}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">2,4</mn><mtext> g</mtext></mrow>}\mathbf{\text{?}}$

El campo eléctrico es conservativo, así que la energía mecánica se conserva. Toda la energía potencial que pierde la carga se convierte en energía cinética:

$E_c(V)+E_p(V)=E_c(P)+E_p(P)$

Como parte del reposo, $E_c(P)=0$:

${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=E_p(P)-E_p(V)=300-180=120\text{ J}$

Se despeja la velocidad, con la masa en unidades del Sistema Internacional:

$m=\mathrm{2,4}\text{ g}=\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-3}\text{ kg}$

$v=\sqrt{{\displaystyle \frac{2\cdot 120}{\mathrm{2,4}\cdot {10}^{-3}}}}=\mathrm{3,16}\cdot {10}^2\text{ m/s}$

La carga pasa por el vértice a unos $316\text{ m/s}$.