Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · 2024

Dos esferas metálicas de radios $R_1$ y $R_2$, con $R_1=5\cdot R_2$, se cargan de forma aislada de manera que la primera tenga 3 veces más carga que la segunda.

a) Determine cuál de las esferas tiene mayor potencial, y cuántas veces es mayor el de una que el de la otra.

b) Posteriormente se conectan eléctricamente entre sí, y se observa que intercambian $3\mu \text{C}$. Determine la carga inicial de cada una e indique cuál cede carga y cuál la absorbe.

c) Determine el cociente entre la fuerza de interacción entre las esferas antes y después del contacto, asumiendo que no ha cambiado la separación entre ellas.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{potencial,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{veces}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra.}}$










El potencial de una esfera conductora cargada coincide con el que crearía una carga puntual del mismo valor situada en su centro:

$V=K{\displaystyle \frac{Q}{R}}$

Se hace el cociente entre los dos potenciales y se sustituyen las relaciones del enunciado, $R_1=5R_2$ y $Q_1=3Q_2$:

${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{Q_1\mathrm{/}{R}_1}{Q_2\mathrm{/}{R}_2}}={\displaystyle \frac{3Q_2\mathrm{/}(5R_2)}{Q_2\mathrm{/}{R}_2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}$





Por tanto:

${\displaystyle \frac{V_2}{V_1}}={\displaystyle \frac{5}{3}}=\mathrm{1,67}$

La esfera pequeña, la 2, es la que está a mayor potencial: exactamente $5\mathrm{/}3$ veces el de la grande. Aunque tiene tres veces menos carga, su radio es cinco veces menor, y en el potencial el radio pesa más.



Al conectarlas forman un único conductor, así que la carga se redistribuye hasta que los potenciales se igualan:

$K{\displaystyle \frac{Q_1^{\mathrm{\prime }}}{R_1}}=K{\displaystyle \frac{Q_2^{\mathrm{\prime }}}{R_2}}\Rightarrow {\displaystyle \frac{Q_1^{\mathrm{\prime }}}{5R_2}}={\displaystyle \frac{Q_2^{\mathrm{\prime }}}{R_2}}\Rightarrow Q_1^{\mathrm{\prime }}=5Q_2^{\mathrm{\prime }}$

A lo que se añade la conservación de la carga:

$Q_1^{\mathrm{\prime }}+Q_2^{\mathrm{\prime }}=Q_1+Q_2=3Q_2+Q_2=4Q_2$

Sustituyendo la primera relación en la segunda:

$5Q_2^{\mathrm{\prime }}+Q_2^{\mathrm{\prime }}=4Q_2\Rightarrow Q_2^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{3}}{Q}_2$

La esfera pequeña se queda con dos tercios de la carga que tenía, es decir, cede un tercio, que es lo que el enunciado cuantifica en $3\mu \text{C}$:

$Q_2-Q_2^{\mathrm{\prime }}=Q_2-{\displaystyle \frac{2}{3}}{Q}_2={\displaystyle \frac{1}{3}}{Q}_2=3\mu \text{C}\Rightarrow Q_2=9\mu \text{C}$

$Q_1=3Q_2=27\mu \text{C}$

La esfera 2, la de menor radio, cede los $3\mu \text{C}$ y la esfera 1 los absorbe, tal y como cabía esperar del apartado anterior: la carga fluye siempre del conductor a mayor potencial al de menor potencial.

Las cargas finales son:

$Q_2^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot 9=6\mu \text{C}{Q}_1^{\mathrm{\prime }}=5\cdot 6=30\mu \text{C}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cociente}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{fuerza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{interacci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{esferas}}\mathbf{\text{antes}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{despu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{contacto,}}\mathbf{\text{asumiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{cambiado}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{separaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{ellas.}}$

La fuerza entre las dos esferas viene dada por la ley de Coulomb:

$F=K{\displaystyle \frac{Q_1{Q}_2}{d^2}}$

Como la distancia no cambia, el cociente entre las dos fuerzas es simplemente el cociente entre los productos de las cargas:

${\displaystyle \frac{F_{\text{antes}}}{F_{\text{despu}\acute{\text{e}}\text{s}}}}={\displaystyle \frac{Q_1{Q}_2}{Q_1^{\mathrm{\prime }}{Q}_2^{\mathrm{\prime }}}}={\displaystyle \frac{27\cdot 9}{30\cdot 6}}={\displaystyle \frac{243}{180}}$

${\displaystyle \frac{F_{\text{antes}}}{F_{\text{despu}\acute{\text{e}}\text{s}}}}=\mathrm{1,35}$

La repulsión disminuye un $26\mathrm{\%}$ tras el contacto: la carga total es la misma, pero repartida de forma más desigual, y el producto de dos números de suma constante es tanto menor cuanto más distintos son entre sí.