Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

En un ejercicio de oposición, el opositor ha de presentar un tema de los cuatro que se seleccionan al azar de un programa de 40 temas. Si los cuatro temas seleccionados han de ser distintos y el opositor tiene bien preparados 22 temas,

a) ¿Qué probabilidad tiene el opositor de aprobar el examen? (0,75 puntos)

b) ¿Qué probabilidad tiene el opositor de saberse exactamente uno de los cuatro temas elegidos? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{opositor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{aprobar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los cuatro temas se eligen a la vez y han de ser distintos, así que no importa el orden: el número de selecciones posibles son las combinaciones de 40 temas tomados de 4 en 4.

$C_{40,4}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{40}{4}\right)={\displaystyle \frac{40\cdot 39\cdot 38\cdot 37}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=91390$

El opositor aprueba si sabe al menos uno de los cuatro temas, así que resulta más corto calcular la probabilidad del suceso contrario: que los cuatro salgan de los 18 que no lleva preparados.

$C_{18,4}=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{18}{4}\right)={\displaystyle \frac{18\cdot 17\cdot 16\cdot 15}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}}=3060$

$P(\text{ninguno preparado})={\displaystyle \frac{3060}{91390}}={\displaystyle \frac{306}{9139}}\approx \mathrm{0,0335}$

$P(\text{aprobar})=1-{\displaystyle \frac{306}{9139}}={\displaystyle \frac{8833}{9139}}\approx \mathrm{0,9665}$

La probabilidad de que el opositor apruebe es $\frac{8833}{9139}$, aproximadamente 0,9665.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{opositor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{saberse}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{temas}}\mathbf{\text{elegidos?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Los casos favorables son elegir uno de los 22 temas preparados y los otros tres de los 18 que no lo están:

$C_{22,1}\cdot C_{18,3}=22\cdot {\displaystyle \frac{18\cdot 17\cdot 16}{3\cdot 2\cdot 1}}=22\cdot 816=17952$

Dividimos entre los casos posibles:

$P(\text{exactamente uno})={\displaystyle \frac{17952}{91390}}={\displaystyle \frac{8976}{45695}}\approx \mathrm{0,1964}$

La probabilidad de que el opositor se sepa exactamente uno de los cuatro temas elegidos es $\frac{8976}{45695}$, aproximadamente 0,1964.