Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Se ha tomado una muestra aleatoria del contenido en gramos de azúcar de 10 latas de refresco de cola y ha resultado ser: 70, 75, 85, 100, 60, 80, 120, 95, 65 y 90. Suponiendo que el contenido en azúcar en gramos de una lata de refresco de cola se distribuye según una ley normal de desviación típica $\sigma =10$ gramos, se pide:

a) Halla el intervalo de confianza del 97 % para el contenido medio de azúcar en una lata de refresco de cola. (1 punto)

b) Razona y explica qué se podría hacer para que el intervalo de confianza tuviera menor amplitud con el mismo nivel de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ del contenido en gramos de azúcar es de 90 gramos con una probabilidad del 98,5 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{lata}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{refresco}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cola.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La desviación típica es $\sigma =10$ gramos y la muestra tiene tamaño $n=10$. Calculamos su media:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{70+75+85+100+60+80+120+95+65+90}{10}}={\displaystyle \frac{840}{10}}=84\text{ g}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,97}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,03}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,015}=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{10}}}\approx \mathrm{6,8622}$

$IC=(84-\mathrm{6,8622};84+\mathrm{6,8622})=(\mathrm{77,1378};\mathrm{90,8622})$

Con una confianza del 97 %, el contenido medio de azúcar está entre 77,1378 y 90,8622 gramos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{explica}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{hacer}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{tuviera}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha \mathrm{/}2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, la única forma de reducir la amplitud es analizar más latas, es decir, aumentar el tamaño de la muestra.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Crees}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{98,5}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha =\mathrm{0,985}$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,0075}=\mathrm{0,9925}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,43}$

$E=\mathrm{2,43}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{10}}}\approx \mathrm{7,6843}$

$IC=(84-\mathrm{7,6843};84+\mathrm{7,6843})=(\mathrm{76,3157};\mathrm{91,6843})$

Como 90 pertenece al intervalo, sí es admisible que la media poblacional sea de 90 gramos con ese nivel de confianza. De hecho también cae dentro del intervalo del 97 % del primer apartado, aunque muy cerca de su extremo superior.