Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El consumo por persona y semana de azúcar en España sigue una distribución normal con desviación típica $\sigma =60$ gramos. Se hizo un estudio y se observó que la media de consumo por semana de 50 personas fue de 200 gramos. Se pide:

a) Calcula el intervalo de confianza del 95 % para el consumo medio por persona y semana de azúcar. (1 punto)

b) Razona cómo podríamos disminuir la amplitud del intervalo de confianza. (0,5 puntos)

c) ¿Crees que la media poblacional $\mu$ de consumo por persona y semana de azúcar es 220 gramos con una probabilidad del 90 %? Razona tu respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Los datos de la muestra son $n=50$, $\bar{x}=200$ gramos y $\sigma =60$ gramos.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,05}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{60}{\sqrt{50}}}\approx \mathrm{16,6312}$

$IC=(200-\mathrm{16,6312};200+\mathrm{16,6312})=(\mathrm{183,3688};\mathrm{216,6312})$

Con una confianza del 95 %, el consumo medio de azúcar por persona y semana está entre 183,3688 y 216,6312 gramos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{mo}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{disminuir}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Como $\sigma$ es un dato de la población y no se puede tocar, quedan dos caminos: aumentar el tamaño de la muestra, porque $n$ está en el denominador, o rebajar el nivel de confianza, lo que hace más pequeño $z_{\alpha \mathrm{/}2}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Crees}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{consumo}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{semana}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{az}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{car}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{220}}\mathbf{\text{gramos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{Razona}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha =\mathrm{0,90}$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{60}{\sqrt{50}}}\approx \mathrm{13,9583}$

$IC=(200-\mathrm{13,9583};200+\mathrm{13,9583})=(\mathrm{186,0417};\mathrm{213,9583})$

Como 220 no pertenece al intervalo, no es admisible que la media poblacional sea de 220 gramos con ese nivel de confianza. Tampoco lo sería con el 95 % del primer apartado, cuyo intervalo es más ancho y tampoco llega a 220.