Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

El tiempo de uso de móvil por día de los alumnos de un instituto sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma =20$ minutos. Se eligió una muestra aleatoria de 36 alumnos y se observó que la media de tiempo usando el móvil para esa muestra era de 2 horas.

a) Halla un intervalo de confianza para la media de tiempo de uso de móvil por día con un nivel de confianza del 95 %. (0,75 puntos)

b) ¿Se puede admitir que la media poblacional sea $\mu =\mathrm{1,3}$ horas con un nivel de confianza del 95 %? Explica razonadamente cómo se podría aumentar o disminuir la amplitud del intervalo. Razona tus respuestas. (0,5 puntos)

c) ¿Cuál sería el error máximo admisible si se hubiera utilizado una muestra de tamaño 100 y un nivel de confianza del 94,64 %? (0,75 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Halla}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{uso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{vil}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Trabajamos en minutos, que es la unidad de la desviación típica: la media de la muestra son 2 horas, es decir, $\bar{x}=120$ minutos. Los otros datos son $n=36$ y $\sigma =20$ minutos.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,05}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{20}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{39,2}}{6}}\approx \mathrm{6,5333}$

$IC=(120-\mathrm{6,5333};120+\mathrm{6,5333})=(\mathrm{113,4667};\mathrm{126,5333})$

Con una confianza del 95 %, el tiempo medio de uso del móvil está entre 113,4667 y 126,5333 minutos al día.



Pasamos el valor propuesto a minutos para poder compararlo:

$\mu =\mathrm{1,3}\text{ horas}=\mathrm{1,3}\cdot 60=78\text{ min}$

Como 78 no pertenece al intervalo $(\mathrm{113,4667};\mathrm{126,5333})$, no se puede admitir esa media con un nivel de confianza del 95 %.

En cuanto a la amplitud, que es el doble del error:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Se puede disminuir aumentando el tamaño de la muestra o rebajando el nivel de confianza, y aumentar haciendo justo lo contrario: tomar menos datos o exigir más confianza.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{admisible}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{hubiera}}\mathbf{\text{utilizado}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{94,64}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Con el nuevo nivel de confianza, $\alpha =\mathrm{0,0536}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,0268}=\mathrm{0,9732}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,93}$

$E=\mathrm{1,93}\cdot {\displaystyle \frac{20}{\sqrt{100}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{38,6}}{10}}=\mathrm{3,86}$

El error máximo admisible sería de 3,86 minutos.