Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

En una clase de un ciclo formativo de formación profesional hay 27 alumnos, 14 son de Albacete, 5 son de Cuenca y 8 de Toledo.

a) Se sortean dos entradas entre todos los alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que ambas entradas le toquen a alumnos que no son de Albacete? (Pueden tocarle al mismo alumno las dos entradas). (0,75 puntos)

b) Si sorteamos 5 entradas, de una en una, de forma que no participa en el sorteo la persona que ya le haya tocado una entrada, ¿cuál es la probabilidad de que las 5 sean para alumnos de Toledo? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sortean}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{alumnos,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ambas}}\mathbf{\text{entradas}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{toquen}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Albacete?}}\mathbf{\text{(Pueden}}\mathbf{\text{tocarle}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{alumno}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{entradas).}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

De los 27 alumnos, 14 son de Albacete, así que los que no lo son suman

$5+8=13$

Como un mismo alumno puede llevarse las dos entradas, los dos sorteos son independientes y en cada uno participan los 27 alumnos.



Recorremos la rama que interesa multiplicando las dos probabilidades:

$P={\displaystyle \frac{13}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{13}{27}}={\displaystyle \frac{169}{729}}\approx \mathrm{0,2318}$

La probabilidad de que las dos entradas les toquen a alumnos que no son de Albacete es $\frac{169}{729}$, aproximadamente 0,2318.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sorteamos}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{entradas,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{participa}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sorteo}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ya}}\mathbf{\text{le}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{tocado}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{entrada,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Toledo?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Ahora los sorteos no son independientes: en cada uno hay un alumno menos y, si el premiado es de Toledo, un alumno de Toledo menos. Encadenamos las cinco probabilidades condicionadas:

$P={\displaystyle \frac{8}{27}}\cdot {\displaystyle \frac{7}{26}}\cdot {\displaystyle \frac{6}{25}}\cdot {\displaystyle \frac{5}{24}}\cdot {\displaystyle \frac{4}{23}}$

$P={\displaystyle \frac{6720}{9687600}}={\displaystyle \frac{28}{40365}}\approx \mathrm{0,000694}$

La probabilidad de que las cinco entradas sean para alumnos de Toledo es $\frac{28}{40365}$, aproximadamente 0,000694: menos de una posibilidad entre mil.