Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Una marca de neumáticos ha tomado una muestra aleatoria de 100 ruedas y ha medido la presión de inflado, proporcionando una media de 2,3 bares. Si se sabe que la presión de inflado sigue una distribución normal de media desconocida y varianza ${\sigma }^2=\mathrm{0,81}{\text{bares}}^2$:

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional de la presión de inflado con un nivel de confianza del 95 %. (1 punto)

b) Explica razonadamente qué ocurrirá con la amplitud del intervalo si para el mismo nivel de confianza disminuimos el tamaño de muestra. (0,5 puntos)

c) La marca de neumáticos afirma que la media de presión de inflado es de 2 bares. ¿Se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 90 %? Justificar la respuesta. (0,5 puntos)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 1,8	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706 1,9	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{presi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

De la varianza obtenemos la desviación típica, $\sigma =\sqrt{\mathrm{0,81}}=\mathrm{0,9}$ bares. Los otros datos de la muestra son $n=100$ y $\bar{x}=\mathrm{2,3}$ bares.

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,95}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,05}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,025}=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}}{10}}=\mathrm{0,1764}$

$IC=(\mathrm{2,3}-\mathrm{0,1764};\mathrm{2,3}+\mathrm{0,1764})=(\mathrm{2,1236};\mathrm{2,4764})$

Con una confianza del 95 %, la presión media de inflado está entre 2,1236 y 2,4764 bares.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Explica}}\mathbf{\text{razonadamente}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ocurrir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{amplitud}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{disminuimos}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{muestra.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

La amplitud del intervalo es el doble del error máximo admisible:

$\text{amplitud}=2E=2z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$

Si el nivel de confianza no cambia, $z_{\alpha \mathrm{/}2}$ es fijo, y $\sigma$ es un dato de la población. Como $n$ aparece en el denominador, al disminuir el tamaño de la muestra la amplitud aumenta: el intervalo se ensancha y la estimación pierde precisión.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{neum}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticos}}\mathbf{\text{afirma}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{presi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{inflado}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{bares.}}\mathbf{\text{¿Se}}\mathbf{\text{puede}}\mathbf{\text{aceptar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{afirmaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{fabricante}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%?}}\mathbf{\text{Justificar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Construimos el intervalo con el nuevo nivel de confianza. Si $1-\alpha =\mathrm{0,90}$, entonces

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,05}=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$E=\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{0,9}}{10}}=\mathrm{0,14805}$

$IC=(\mathrm{2,3}-\mathrm{0,14805};\mathrm{2,3}+\mathrm{0,14805})=(\mathrm{2,15195};\mathrm{2,44805})$

Como 2 no pertenece al intervalo, no se puede aceptar la afirmación del fabricante con un nivel de confianza del 90 %. Tampoco se aceptaría con el 95 % del primer apartado, cuyo intervalo es más ancho y tampoco contiene a 2.