Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

El tiempo empleado para resolver un problema de Estadística sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica $\sigma =\mathrm{6,4}$ minutos. Se ha tomado una muestra de 9 personas y los tiempos empleados en resolver el problema han sido 12, 11, 10, 9, 7, 12, 11, 8 y 10 minutos.

a) Calcula el intervalo de confianza para la media poblacional del tiempo empleado en resolver el problema con un nivel de confianza del 97 %. (1 punto)

b) Calcula el tamaño mínimo de la muestra elegida para que, con el mismo nivel de confianza, el error máximo admisible sea menor que 3 minutos. (1 punto)

$z$	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09 2,0	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817 2,1	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{poblacional}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{empleado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{resolver}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{problema}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La desviación típica es $\sigma =\mathrm{6,4}$ minutos y la muestra tiene tamaño $n=9$. Calculamos su media:

$\bar{x}={\displaystyle \frac{12+11+10+9+7+12+11+8+10}{9}}={\displaystyle \frac{90}{9}}=10\text{ min}$

Buscamos el valor crítico. Si $1-\alpha =\mathrm{0,97}$, entonces $\alpha =\mathrm{0,03}$ y

$P(Z\le z_{\alpha \mathrm{/}2})=1-\mathrm{0,015}=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$



El error máximo admisible es:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,4}}{3}}\approx \mathrm{4,6293}$

$IC=(10-\mathrm{4,6293};10+\mathrm{4,6293})=(\mathrm{5,3707};\mathrm{14,6293})$

Con una confianza del 97 %, el tiempo medio empleado en resolver el problema está entre 5,3707 y 14,6293 minutos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{admisible}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{minutos.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El nivel de confianza no cambia, así que seguimos con $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$. Imponemos la condición sobre el error y despejamos el tamaño de la muestra.

$E=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{\mathrm{6,4}}{\sqrt{n}}}<3\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{13,888}}{3}}\approx \mathrm{4,6293}$

$n>{\mathrm{4,6293}}^2\approx \mathrm{21,43}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, hay que preguntar al menos a 22 personas.