Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

El número de turistas que visitan una ciudad durante un día determinado se ajusta a la función $P(t)=432t-t^3$ donde $t$ es la hora del día entre las 8 de la mañana y las 8 de la tarde ($8\le t\le 20$) y $P(t)$ indica el número de visitantes.

a) ¿En qué momento del día se produce una máxima afluencia? ¿Cuál es esa máxima afluencia? (1,25 puntos)

b) ¿En qué intervalos de horas sube y en cuáles baja la afluencia de visitantes? (0,75 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{produce}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{afluencia?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{afluencia?}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Buscamos los puntos críticos de $P(t)=432t-t^3$ en el intervalo $[8,20]$ derivando e igualando a cero.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=432-3t^2$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow 3t^2=432\Rightarrow t^2=144\Rightarrow t=\pm 12$

Se descarta $t=-12$ por no ser una hora del intervalo. Comprobamos el signo de la segunda derivada en el punto que queda:

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-6t\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(12)=-72<0$

Al ser negativa, en $t=12$ hay un máximo relativo. Como la función crece antes de esa hora y decrece después, ese máximo relativo es también el absoluto del intervalo; lo confirmamos comparándolo con los extremos:

$P(8)=3456-512=2944$

$P(12)=5184-1728=3456$

$P(20)=8640-8000=640$

La máxima afluencia se produce a las 12 de la mañana, con 3456 visitantes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{sube}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{baja}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{afluencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{visitantes?}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Estudiamos el signo de la derivada en el intervalo, donde el único punto crítico es $t=12$.

$P^{\mathrm{\prime }}(10)=432-300=132>0$

$P^{\mathrm{\prime }}(16)=432-768=-336<0$



La afluencia de visitantes sube entre las 8 y las 12 de la mañana, $(8,12)$, y baja entre las 12 y las 8 de la tarde, $(12,20)$.