Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

a) Calcula, si es posible, $C+A\cdot B$. (0,75 puntos)

b) ¿Son iguales $C^{-1}+(A\cdot B{)}^{-1}$ y $(C+A\cdot B{)}^{-1}$? (1,25 puntos)

La matriz $A$ es de orden $2\times 3$ y la $B$ de orden $3\times 2$, así que el producto $A\cdot B$ se puede hacer y resulta de orden $2\times 2$, el mismo que el de $C$: la suma también es posible.

$A\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$

$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}-1+4-3& 0+4+3\\ -2+2-1& 0+2+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ -1& 3\end{array}\right)$

$C+A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 7\\ -1& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 3\end{array}\right)$



Las tres matrices tienen inversa porque sus determinantes no son nulos. Para una matriz de orden 2 usamos la fórmula

${\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{ad-bc}}\left(\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right)$

Calculamos las dos inversas del primer miembro:

$\mathrm{\mid }C\mathrm{\mid }=1\cdot 0-(-1)\cdot 1=1\Rightarrow C^{-1}=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$

$\mathrm{\mid }A\cdot B\mathrm{\mid }=0\cdot 3-7\cdot (-1)=7\Rightarrow (A\cdot B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{7}}\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ 1& 0\end{array}\right)$

$C^{-1}+(A\cdot B{)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{3}{7}}& 0\\ -{\displaystyle \frac{6}{7}}& 1\end{array}\right)$

Y ahora la inversa de la suma, que ya calculamos en el apartado anterior:

$\mathrm{\mid }C+A\cdot B\mathrm{\mid }=1\cdot 3-6\cdot 0=3\Rightarrow (C+A\cdot B{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}3& -6\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 0& {\displaystyle \frac{1}{3}}\end{array}\right)$

Las dos matrices no coinciden en ninguno de sus cuatro elementos, así que no son iguales: la inversa de una suma de matrices no es la suma de las inversas.