Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

a) El 70 % de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el 25 % entre 34 y 54 años (ambos incluídos) y el 5 % más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el 98 % de los menores de 34 años, el 40 % de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluídos) y el 10 % de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?

a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluídos)?

b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?

Nombramos los sucesos del apartado a): $J$, el usuario tiene menos de 34 años; $M$, tiene entre 34 y 54 años; $V$, tiene más de 54 años; y $D$, accede a diario a la red. Los tres primeros forman un sistema completo. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en no acceder.

$P(\overline{D})=P(J)\,P(\overline{D}\mid J)+P(M)\,P(\overline{D}\mid M)+P(V)\,P(\overline{D}\mid V)$

$P(\overline{D})=0{,}70\cdot0{,}02+0{,}25\cdot0{,}60+0{,}05\cdot0{,}90$

$P(\overline{D})=0{,}014+0{,}150+0{,}045=0{,}209$

La probabilidad de que un usuario no acceda a diario es $0{,}209$, es decir, un $20{,}9\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluídos)?}$

Acceder a diario es el suceso contrario del anterior.

$P(D)=1-P(\overline{D})=1-0{,}209=0{,}791$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(M\mid D)=\dfrac{P(M)\cdot P(D\mid M)}{P(D)}=\dfrac{0{,}25\cdot0{,}40}{0{,}791}=\dfrac{0{,}10}{0{,}791}$

$P(M\mid D)=\dfrac{100}{791}\approx0{,}1264$

Sabiendo que el usuario accede a diario, la probabilidad de que tenga entre 34 y 54 años es $0{,}1264$, es decir, un $12{,}64\%$: bastante menos que el $25\%$ de partida, porque ese grupo es el que menos accede.

Llamamos $X$ al tiempo, en minutos, que un usuario pasa conectado al día. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(53,\,10)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-53}{10}\sim N(0,1)$

$P(X>30)=P\left(Z>\dfrac{30-53}{10}\right)=P(Z>-2{,}3)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas,

$P(Z>-2{,}3)=P(Z<2{,}3)=0{,}9893$



La probabilidad de que un usuario se conecte más de $30$ minutos al día es $0{,}9893$, es decir, un $98{,}93\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las áreas acumuladas.

$P(40<X<67)=P\left(\dfrac{40-53}{10}<Z<\dfrac{67-53}{10}\right)=P(-1{,}3<Z<1{,}4)$

$P(-1{,}3<Z<1{,}4)=P(Z<1{,}4)-P(Z<-1{,}3)$

Para la cola negativa usamos de nuevo la simetría:

$P(Z<-1{,}3)=1-P(Z<1{,}3)=1-0{,}9032=0{,}0968$

$P(-1{,}3<Z<1{,}4)=0{,}9192-0{,}0968=0{,}8224$



Se conecta entre $40$ y $67$ minutos al día el $82{,}24\%$ de los usuarios.