Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

a) En un servicio de emergencias el 60 % de los avisos que se reciben se clasifican con el código amarillo, el 30 % con el naranja y el 10 % con el rojo. Se sabe que el porcentaje de avisos recibidos que son falsas alarmas es 3 % en el caso de código amarillo, 2 % en el naranja y 1 % en el rojo. Si se recibe un aviso,

a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?

b) Si en una centralita se reciben 9 avisos,

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?

Nombramos los sucesos del apartado a): $A$, $N$ y $R$, el aviso se clasifica con código amarillo, naranja o rojo, y $F$, el aviso resulta ser una falsa alarma. Los tres primeros forman un sistema completo. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en falsa alarma.

$P(F)=P(A)\cdot P(F\mid A)+P(N)\cdot P(F\mid N)+P(R)\cdot P(F\mid R)$

$P(F)=0{,}60\cdot0{,}03+0{,}30\cdot0{,}02+0{,}10\cdot0{,}01$

$P(F)=0{,}018+0{,}006+0{,}001=0{,}025$

La probabilidad de que un aviso sea una falsa alarma es $0{,}025$, es decir, un $2{,}5\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?}$

Que no sea falsa alarma es el suceso contrario del anterior.

$P(\overline{F})=1-P(F)=1-0{,}025=0{,}975$

Los sucesos «naranja» y «rojo» son incompatibles, así que la probabilidad de su unión es la suma. Aplicamos el teorema de Bayes a cada uno y sumamos los numeradores.

$P(N\cup R\mid\overline{F})=\dfrac{P(N)\,P(\overline{F}\mid N)+P(R)\,P(\overline{F}\mid R)}{P(\overline{F})}$

$=\dfrac{0{,}30\cdot0{,}98+0{,}10\cdot0{,}99}{0{,}975}=\dfrac{0{,}294+0{,}099}{0{,}975}=\dfrac{0{,}393}{0{,}975}$

$P(N\cup R\mid\overline{F})=\dfrac{131}{325}\approx0{,}4031$

Si el aviso no ha sido falsa alarma, la probabilidad de que fuese código rojo o naranja es $0{,}4031$, es decir, un $40{,}31\%$.

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?}$

Llamamos $X$ al número de avisos naranjas entre los nueve recibidos. Los avisos son independientes y cada uno es naranja con probabilidad $0{,}30$, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(9;\,0{,}3)$

$P(X\leq2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

$P(X=0)=0{,}0404,\qquad P(X=1)=0{,}1556,\qquad P(X=2)=0{,}2668$

$P(X\leq2)=0{,}0404+0{,}1556+0{,}2668=0{,}4628$

La probabilidad de recibir dos o menos avisos naranjas es $0{,}4628$, es decir, un $46{,}28\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?}$

Que todos sean amarillos o naranjas equivale a que ninguno sea rojo, y ese es un suceso mucho más cómodo de tratar. Llamamos $Y$ al número de avisos rojos.

$Y\sim B(9;\,0{,}1)$

$P(Y=0)=\binom{9}{0}\,0{,}1^{0}\,0{,}9^{9}=0{,}9^9=0{,}3874$

La probabilidad de que los nueve avisos sean amarillos o naranjas es $0{,}3874$, es decir, un $38{,}74\%$.