Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

a) En el servicio de urgencias clasifican a los pacientes en leves y graves según llegan al hospital. El 20 % de los pacientes leves debe ingresar en el hospital, mientras que el 60 % de los pacientes graves debe hacerlo. En un día cualquiera llegan al servicio de urgencias un 90 % de pacientes leves y un 10 % de pacientes graves. Si se selecciona un paciente al azar:

a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?

a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?

b) En un momento dado llegan 8 pacientes a urgencias.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?

Nombramos los sucesos del apartado a): $L$, el paciente llega con una dolencia leve; $G$, llega con una dolencia grave; e $I$, el paciente debe ingresar. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que deba ingresar en el hospital?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en ingreso.

$P(I)=P(L)\cdot P(I\mid L)+P(G)\cdot P(I\mid G)$

$P(I)=0{,}90\cdot0{,}20+0{,}10\cdot0{,}60=0{,}18+0{,}06=0{,}24$

La probabilidad de que un paciente elegido al azar deba ingresar es $0{,}24$, es decir, un $24\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el paciente tuvo que ingresar, ¿cuál es la probabilidad de que llegara al hospital con una dolencia leve?}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(L\mid I)=\dfrac{P(L)\cdot P(I\mid L)}{P(I)}=\dfrac{0{,}18}{0{,}24}=\dfrac{3}{4}=0{,}75$

Sabiendo que el paciente ingresó, la probabilidad de que llegara con una dolencia leve es $0{,}75$, es decir, un $75\%$: aunque los leves ingresan mucho menos, son tantos que siguen siendo mayoría entre los ingresados.

Llamamos $X$ al número de pacientes clasificados como leves entre los ocho que llegan. Los ocho son independientes y cada uno es leve con la misma probabilidad, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(8;\,0{,}9)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que exactamente 4 pacientes se clasifiquen como leves?}$

Aplicamos la función de probabilidad de la distribución binomial.

$P(X=4)=\binom{8}{4}\,0{,}9^{4}\,0{,}1^{4}=70\cdot0{,}6561\cdot0{,}0001$

$P(X=4)=0{,}0046$

La probabilidad de que exactamente cuatro pacientes sean leves es $0{,}0046$, es decir, un $0{,}46\%$: es un resultado muy improbable, porque lo esperable es que casi todos lo sean.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que como mucho 7 pacientes sean clasificados como leves?}$

Que como mucho siete sean leves es el suceso contrario de que lo sean los ocho, que es un único sumando.

$P(X\leq7)=1-P(X=8)=1-\binom{8}{8}\,0{,}9^{8}\,0{,}1^{0}$

$P(X\leq7)=1-0{,}4305=0{,}5695$

La probabilidad de que como mucho siete pacientes sean clasificados como leves es $0{,}5695$, es decir, un $56{,}95\%$.