Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

a) En un determinado I.E.S. la probabilidad de que un alumno apruebe si va a clase es del 80 % mientras que si no va a clase es del 50 %. El 90 % de los alumnos va a clase.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?

a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?

b) Una empresa embotelladora de agua produce botellas de 150 ml. La cantidad que realmente contienen sigue una distribución normal con media 150 ml y desviación típica 5 ml.

b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?

b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?

Nombramos los sucesos del apartado a): $C$, el alumno va a clase, y $A$, el alumno aprueba. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en aprobado.

$P(A)=P(C)\cdot P(A\mid C)+P(\overline{C})\cdot P(A\mid\overline{C})$

$P(A)=0{,}90\cdot0{,}80+0{,}10\cdot0{,}50=0{,}72+0{,}05=0{,}77$

La probabilidad de que un alumno apruebe es $0{,}77$, es decir, un $77\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si un alumno ha suspendido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya ido a clase?}$

Suspender es el suceso contrario de aprobar, así que su probabilidad sale de la anterior.

$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}77=0{,}23$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(\overline{C}\mid\overline{A})=\dfrac{P(\overline{C})\cdot P(\overline{A}\mid\overline{C})}{P(\overline{A})}=\dfrac{0{,}10\cdot0{,}50}{0{,}23}=\dfrac{0{,}05}{0{,}23}$

$P(\overline{C}\mid\overline{A})=\dfrac{5}{23}\approx0{,}2174$

Si un alumno ha suspendido, la probabilidad de que no haya ido a clase es $\dfrac{5}{23}\approx0{,}2174$: más del doble del $10\%$ de partida.

Llamamos $X$ al contenido, en mililitros, de una botella. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(150,\,5)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Qué proporción de las botellas contiene más de 152 ml?}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-150}{5}\sim N(0,1)$

$P(X>152)=P\left(Z>\dfrac{152-150}{5}\right)=P(Z>0{,}4)$

$P(Z>0{,}4)=1-P(Z<0{,}4)=1-0{,}6554=0{,}3446$



Contiene más de $152\ \text{ml}$ el $34{,}46\%$ de las botellas.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Qué proporción de botellas tiene entre 149 y 152 ml?}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las áreas acumuladas.

$P(149<X<152)=P\left(\dfrac{149-150}{5}<Z<\dfrac{152-150}{5}\right)=P(-0{,}2<Z<0{,}4)$

$P(-0{,}2<Z<0{,}4)=P(Z<0{,}4)-P(Z<-0{,}2)$

Para la cola negativa usamos la simetría de la campana:

$P(Z<-0{,}2)=1-P(Z<0{,}2)=1-0{,}5793=0{,}4207$

$P(-0{,}2<Z<0{,}4)=0{,}6554-0{,}4207=0{,}2347$



Tiene entre $149$ y $152\ \text{ml}$ el $23{,}47\%$ de las botellas.