Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

a) Se calcula que una quinta parte de los niños españoles presentan algún tipo de intolerancia alimentaria. En una cantina escolar los niños se sientan al azar en mesas de 4 comensales.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?

a.2) [0,75 puntos] Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, a esa mesa se le sirve el pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?

b) El peso de los paquetes de 1 kg de arroz que comercializa determinada marca sigue una distribución normal de 985 g de media y 25 g de desviación típica.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuántos pesarán más de un kilo?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuánto pesará el más ligero del 70 % de los que más pesan?

Llamamos $X$ al número de niños con intolerancia alimentaria sentados en una mesa de cuatro. Los cuatro niños se sientan al azar y de forma independiente, y cada uno presenta intolerancia con probabilidad $\frac{1}{5}=0{,}2$, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(4;\,0{,}2)$

$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria?}$

Que haya alguno es el suceso contrario de que no haya ninguno, que es un único sumando.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\binom{4}{0}\,0{,}2^0\,0{,}8^{4}$

$P(X\geq1)=1-0{,}4096=0{,}5904$

La probabilidad de que en una mesa haya algún niño con intolerancia alimentaria es $0{,}5904$, es decir, un $59{,}04\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Cuando en una mesa hay algún niño con intolerancia alimentaria, a esa mesa se le sirve el pan sin gluten. Si un día hay ocupadas 8 mesas, ¿cuál es la probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa?}$

Cambiamos de experimento: ahora la unidad es la mesa. Llamamos $Y$ al número de mesas que necesitan pan sin gluten entre las ocho, y cada mesa lo necesita con la probabilidad calculada en el apartado anterior.

$Y\sim B(8;\,0{,}5904)$

De nuevo pasamos al suceso contrario, que ninguna mesa lo necesite.

$P(Y\geq1)=1-P(Y=0)=1-0{,}4096^{8}$

$P(Y\geq1)=1-0{,}0008=0{,}9992$

La probabilidad de que haya que servir pan sin gluten en alguna mesa es $0{,}9992$: con ocho mesas ocupadas es prácticamente seguro.

Llamamos $W$ al peso, en gramos, de un paquete de arroz. Según el enunciado

$W\sim N(\mu,\sigma)=N(985,\,25)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Cuántos pesarán más de un kilo?}$

Un kilo son $1000\ \text{g}$. Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{W-\mu}{\sigma}=\dfrac{W-985}{25}\sim N(0,1)$

$P(W>1000)=P\left(Z>\dfrac{1000-985}{25}\right)=P(Z>0{,}6)$

$P(Z>0{,}6)=1-P(Z<0{,}6)=1-0{,}7257=0{,}2743$



Pesará más de un kilo el $27{,}43\%$ de los paquetes, es decir, unos $274$ de cada mil.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuánto pesará el más ligero del 70\% de los que más pesan?}$

El paquete más ligero del $70\%$ que más pesa es el valor $w_0$ que deja por encima ese $70\%$ y, por tanto, por debajo el $30\%$ restante.

$P(W>w_0)=0{,}70\Rightarrow P(W<w_0)=0{,}30$

Como el área acumulada es menor que $0{,}5$, el valor tipificado es negativo y lo buscamos en la tabla por simetría.

$P(Z<z_0)=0{,}30\Rightarrow P(Z<-z_0)=0{,}70\Rightarrow -z_0=0{,}52\Rightarrow z_0=-0{,}52$

$w_0=\mu+z_0\sigma=985-0{,}52\cdot25=985-13=972$



El más ligero del $70\%$ que más pesan pesa $972\ \text{g}$.