Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

a) [1,25 puntos] Sean los vectores $\vec{u} = (1,\,1,\,1)$ y $\vec{v} = (1,\,0,\,1)$. Calcule el plano que pasa por el punto $A = (0,\,0,\,1)$ y con vector normal el producto vectorial de $\vec{u}$ y $\vec{v}$.

b) El EVAU club de fútbol tiene una probabilidad del 90 % de ganar un partido cuando juega Benceno (su delantero estrella) y del 60 % cuando no lo hace. Se sabe que la probabilidad de que Benceno juegue un partido es del 80 %.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?

b.2) [0,75 puntos] Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?

$\textbf{a) [1,25 puntos] Sean los vectores } \boldsymbol{\vec{u} = (1,\,1,\,1)}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v} = (1,\,0,\,1)}\textbf{. Calcule el plano que pasa por el punto } \boldsymbol{A = (0,\,0,\,1)}\textbf{ y con vector normal el producto vectorial de } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ y } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{.}$

Calculamos primero el producto vectorial, que será el vector normal del plano.

$\vec n_{\pi}=\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\1&1&1\\1&0&1\end{vmatrix}=(1,0,-1)$

Con ese vector normal la ecuación del plano es de la forma

$\pi:x-z+D=0$

Imponemos que $A(0,0,1)$ pertenezca al plano.

$0-1+D=0\Rightarrow D=1$

El plano pedido es $\pi:x-z+1=0$.

Nombramos los sucesos del apartado b): $B$, Benceno juega el partido, y $G$, el EVAU C.F. gana el partido. El árbol del experimento es:



$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en victoria.

$P(G)=P(B)\cdot P(G\mid B)+P(\overline{B})\cdot P(G\mid\overline{B})$

$P(G)=0{,}80\cdot0{,}90+0{,}20\cdot0{,}60=0{,}72+0{,}12=0{,}84$

La probabilidad de que el EVAU C.F. gane un partido cualquiera es $0{,}84$, es decir, un $84\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] Si el EVAU C.F. acaba de ganar un partido, ¿cuál es la probabilidad de que Benceno haya jugado?}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(B\mid G)=\dfrac{P(B)\cdot P(G\mid B)}{P(G)}=\dfrac{0{,}72}{0{,}84}$

$P(B\mid G)=\dfrac{6}{7}\approx0{,}8571$

Si el equipo ha ganado, la probabilidad de que Benceno haya jugado es $\dfrac{6}{7}\approx0{,}8571$, algo mayor que el $80\%$ de partida: la victoria hace más verosímil que jugara el delantero estrella.