Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:

$\displaystyle\int (x+3)e^{-2x}\,dx$

b) En un juego de azar cada jugador tira un dado de seis caras. Si sale un 1 vuelve a tirar. Si sale otro resultado deja de tirar y la puntuación obtenida es el número de unos obtenidos durante las tiradas.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?

b.2) [0,75 puntos] ¿Podría dar la probabilidad de obtener una puntuación de $n \in \mathbb{N}$?

$\textbf{a) [1 punto] Resuelva la siguiente integral:}$

$\boldsymbol{\displaystyle\int (x+3)e^{-2x}\,dx}$

El integrando es el producto de un polinomio por una exponencial, así que integramos por partes derivando el polinomio.

$\begin{cases}u=x+3 & du=dx\\ dv=e^{-2x}dx & v=-\dfrac{1}{2}e^{-2x}\end{cases}$

$\int(x+3)e^{-2x}dx=-\dfrac{1}{2}(x+3)e^{-2x}+\dfrac{1}{2}\int e^{-2x}dx$

$=-\dfrac{1}{2}(x+3)e^{-2x}-\dfrac{1}{4}e^{-2x}+C$

Sacamos factor común la exponencial:

$\int(x+3)e^{-2x}dx=-\dfrac{e^{-2x}}{4}\left(2x+7\right)+C$

$\textbf{b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de no obtener ningún uno? ¿Cuál es la probabilidad de obtener una puntuación de uno? ¿Y la de obtener una puntuación de tres?}$

El jugador sigue tirando mientras salga $1$ y se para en cuanto sale otro resultado, de modo que la puntuación $n$ corresponde a $n$ unos seguidos y, después, un resultado distinto de uno. Las tiradas son independientes y en cada una

$P(\text{sacar un }1)=\dfrac{1}{6},\qquad P(\text{no sacar un }1)=\dfrac{5}{6}$

No obtener ningún uno es fallar ya en la primera tirada:

$P(0)=\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333$

Obtener una puntuación de uno es sacar un $1$ y después otro resultado:

$P(1)=\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{36}\approx0{,}1389$

Obtener una puntuación de tres es sacar tres unos seguidos y después otro resultado:

$P(3)=\left(\dfrac{1}{6}\right)^3\cdot\dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{1296}\approx0{,}0039$

Las tres probabilidades son $\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333$, $\dfrac{5}{36}\approx0{,}1389$ y $\dfrac{5}{1296}\approx0{,}0039$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Podría dar la probabilidad de obtener una puntuación de } \boldsymbol{n \in \mathbb{N}}\textbf{?}$

Sí. El razonamiento del apartado anterior no depende del valor concreto de la puntuación: obtenerla igual a $n$ exige $n$ unos seguidos y, a continuación, un resultado distinto de uno.

$P(n)=\underbrace{\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{6}\cdots\dfrac{1}{6}}_{n\ \text{veces}}\cdot\dfrac{5}{6}=\left(\dfrac{1}{6}\right)^{n}\cdot\dfrac{5}{6}$

$P(n)=\dfrac{5}{6^{\,n+1}},\qquad n\in\mathbb{N}$

Se trata de una distribución geométrica. Como comprobación, la suma de todas las probabilidades es la de una serie geométrica de razón $\frac{1}{6}$:

$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{5}{6^{\,n+1}}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{1}{1-\frac{1}{6}}=\dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{6}{5}=1$