Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

a) Tenemos dos urnas con bolas. La urna A tiene 6 bolas rojas y 8 negras y la urna B tiene 8 bolas rojas y 10 bolas negras. Disponemos de un dado de 12 caras numeradas del 1 al 12. Lanzamos el dado y si sale un número múltiplo de 4 se extrae una bola de la urna A. Si sale otro número se extrae una bola de la urna B. Calcule razonadamente:

a.1) [0,5 puntos] La probabilidad de obtener una bola roja.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.

b) Una empresa de mensajería sabe que la probabilidad de que el destinatario esté ausente (y no se pueda hacer la entrega) durante el reparto es del 25 %. Un repartidor de esta empresa ha de entregar 6 paquetes.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?

Nombramos los sucesos del apartado a): $A$ y $B$, extraer la bola de cada una de las dos urnas, y $R$, que la bola extraída sea roja.

Entre los doce resultados del dado hay tres múltiplos de $4$ —el $4$, el $8$ y el $12$—, de modo que

$P(A)=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4},\qquad P(B)=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}$

La urna A tiene $6+8=14$ bolas y la urna B tiene $8+10=18$. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] La probabilidad de obtener una bola roja.}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en bola roja.

$P(R)=P(A)\cdot P(R\mid A)+P(B)\cdot P(R\mid B)$

$P(R)=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{6}{14}+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{18}=\dfrac{3}{28}+\dfrac{1}{3}$

$P(R)=\dfrac{9}{84}+\dfrac{28}{84}=\dfrac{37}{84}\approx0{,}4405$

La probabilidad de obtener una bola roja es $\dfrac{37}{84}\approx0{,}4405$, es decir, un $44{,}05\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que haya sido extraída de la urna A.}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(A\mid R)=\dfrac{P(A)\cdot P(R\mid A)}{P(R)}=\dfrac{\frac{9}{84}}{\frac{37}{84}}=\dfrac{9}{37}\approx0{,}2432$

Sabiendo que la bola es roja, la probabilidad de que proceda de la urna A es $\dfrac{9}{37}\approx0{,}2432$: bastante menos que el $25\%$ de partida, porque la urna A tiene menor proporción de bolas rojas.

Llamamos $X$ al número de paquetes que no se pueden entregar por ausencia del destinatario. Los seis repartos son independientes y en cada uno la probabilidad de ausencia es la misma, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(6;\,0{,}25)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que no pueda entregar uno de ellos porque el destinatario esté ausente?}$

Se pide que haya exactamente un paquete sin entregar, así que aplicamos la función de probabilidad de la binomial.

$P(X=1)=\binom{6}{1}\,0{,}25^1\,0{,}75^{5}=6\cdot0{,}25\cdot0{,}2373$

$P(X=1)=0{,}3560$

La probabilidad de que quede exactamente un paquete sin entregar es $0{,}3560$, es decir, un $35{,}60\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes?}$

Que entregue al menos uno es el suceso contrario de que no entregue ninguno, es decir, de que los seis destinatarios estén ausentes.

$P(\text{entregar al menos uno})=1-P(X=6)=1-\binom{6}{6}\,0{,}25^{6}\,0{,}75^{0}$

$=1-0{,}0002=0{,}9998$

La probabilidad de que pueda entregar al menos uno de los paquetes es $0{,}9998$: es casi seguro, porque quedarse sin entregar los seis exige que fallen los seis repartos a la vez.