Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

a) [1 punto] Sea la función $f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3$. Obtenga sus máximos y mínimos relativos.

b) Una urna contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4. Se extraen al azar dos bolas sin reemplazamiento y se obtiene una puntuación igual a la suma de los valores correspondientes.

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?

$\textbf{a) [1 punto] Sea la función } \boldsymbol{f(x) = x^3 + 3x^2 + x + 3}\textbf{. Obtenga sus máximos y mínimos relativos.}$

La función es polinómica, luego continua y derivable en todo $\mathbb{R}$. Buscamos los puntos críticos anulando la derivada primera.

$f'(x)=3x^2+6x+1$

$3x^2+6x+1=0\Rightarrow x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-12}}{6}=\dfrac{-6\pm2\sqrt6}{6}=-1\pm\dfrac{\sqrt6}{3}$



Clasificamos los dos puntos con la derivada segunda.

$f''(x)=6x+6$

$f''\left(-1-\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=6\left(-1-\dfrac{\sqrt6}{3}\right)+6=-2\sqrt6<0\Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f''\left(-1+\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=2\sqrt6>0\Rightarrow \text{mínimo relativo}$

Calculamos las ordenadas correspondientes:

$f\left(-1-\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=4+\dfrac{4\sqrt6}{9}\approx5{,}0887$

$f\left(-1+\dfrac{\sqrt6}{3}\right)=4-\dfrac{4\sqrt6}{9}\approx2{,}9113$

La función tiene un máximo relativo en $\left(-1-\dfrac{\sqrt6}{3},\,4+\dfrac{4\sqrt6}{9}\right)\approx(-1{,}8165;\,5{,}0887)$ y un mínimo relativo en $\left(-1+\dfrac{\sqrt6}{3},\,4-\dfrac{4\sqrt6}{9}\right)\approx(-0{,}1835;\,2{,}9113)$.

$\textbf{b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación obtenida sea de 3?}$

Las dos bolas se extraen sin reemplazamiento, de modo que el espacio muestral lo forman las parejas ordenadas de bolas distintas.

$\text{casos posibles}=4\cdot3=12$

La puntuación es la suma de los dos valores, y solo hay una manera de que sume $3$ con dos bolas distintas: sacar la $1$ y la $2$, en cualquier orden.

$\text{casos favorables}=\{(1,2),\,(2,1)\}\Rightarrow 2$

Aplicando la regla de Laplace,

$P(\text{suma}=3)=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$

La probabilidad de obtener una puntuación de $3$ es $\dfrac{1}{6}\approx0{,}1667$, es decir, un $16{,}67\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que la puntuación sea mayor de 3?}$

La menor suma posible con dos bolas distintas es $1+2=3$, de manera que la puntuación nunca puede ser inferior a $3$. Que sea mayor que $3$ es entonces el suceso contrario de que valga exactamente $3$.

$P(\text{suma}>3)=1-P(\text{suma}=3)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333$

La probabilidad de que la puntuación sea mayor que $3$ es $\dfrac{5}{6}\approx0{,}8333$, es decir, un $83{,}33\%$.