Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2023

a) Una empresa de mantenimiento da servicio a empresas de dos polígonos industriales (el polígono Campo y el polígono Llano). El 30 % de las reparaciones se realizan en el polígono Campo mientras que el 70 % se realiza en el polígono Llano. Además, en el polígono Campo el 10 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el 90 % de tipo eléctrico. En el polígono Llano el 30 % de las reparaciones son de tipo mecánico y el resto de tipo eléctrico.

a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?

a.2) [0,75 puntos] Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?

b) El famoso piloto de carreras Fernando Osnola es capaz de completar una vuelta a un circuito en un tiempo que sigue una distribución normal de media 1,5 minutos y desviación típica 0,15 minutos.

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de 1,35 minutos?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el 85,08 % de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?

Nombramos los sucesos del apartado a): $C$, la reparación se hace en el polígono Campo; $L$, se hace en el polígono Llano; $M$, la reparación es de tipo mecánico; y $E$, es de tipo eléctrico. El árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que en un momento dado se realice una reparación de tipo mecánico?}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las dos ramas que acaban en una reparación mecánica.

$P(M)=P(C)\cdot P(M\mid C)+P(L)\cdot P(M\mid L)$

$P(M)=0{,}30\cdot0{,}10+0{,}70\cdot0{,}30=0{,}03+0{,}21=0{,}24$

La probabilidad de que la reparación sea de tipo mecánico es $0{,}24$, es decir, un $24\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Si se ha realizado una reparación de tipo eléctrico, ¿qué probabilidad hay de que se haya realizado en el polígono Llano?}$

Las reparaciones son mecánicas o eléctricas, así que la probabilidad de que sea eléctrica es la del suceso contrario de la anterior.

$P(E)=1-P(M)=1-0{,}24=0{,}76$

Ahora invertimos el condicionamiento con el teorema de Bayes.

$P(L\mid E)=\dfrac{P(L)\cdot P(E\mid L)}{P(E)}=\dfrac{0{,}70\cdot0{,}70}{0{,}76}=\dfrac{0{,}49}{0{,}76}$

$P(L\mid E)=\dfrac{49}{76}\approx0{,}6447$

Si la reparación ha sido eléctrica, la probabilidad de que se haya hecho en el polígono Llano es $0{,}6447$, es decir, un $64{,}47\%$.

Llamamos $X$ al tiempo, en minutos, que tarda el piloto en dar una vuelta al circuito. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(1{,}5;\,0{,}15)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que complete una vuelta en menos de 1,35 minutos?}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-1{,}5}{0{,}15}\sim N(0,1)$

$P(X<1{,}35)=P\left(Z<\dfrac{1{,}35-1{,}5}{0{,}15}\right)=P(Z<-1)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que usamos la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas.

$P(Z<-1)=1-P(Z<1)=1-0{,}8413=0{,}1587$



La probabilidad de que complete una vuelta en menos de $1{,}35$ minutos es $0{,}1587$, es decir, un $15{,}87\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál sería el tiempo exacto que es mayor que el 85,08\% de los tiempos realizados al completar una vuelta al circuito?}$

Buscamos el valor $x_0$ que deja por debajo el $85{,}08\%$ de los tiempos, es decir, el que cumple $P(X<x_0)=0{,}8508$. Tipificamos y buscamos ese área en la tabla.

$P\left(Z<\dfrac{x_0-1{,}5}{0{,}15}\right)=0{,}8508\Rightarrow \dfrac{x_0-1{,}5}{0{,}15}=1{,}04$

$x_0=1{,}5+1{,}04\cdot0{,}15=1{,}5+0{,}156=1{,}656$



El tiempo pedido es $1{,}656$ minutos: solo el $14{,}92\%$ de las vueltas duran más que eso.