Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

a) Se tienen tres cajas A, B y C. En la caja A hay dos cartas de espadas y tres de copas. En la caja B, tres cartas de espadas y dos de copas y en la caja C, cuatro de espadas y una de copas. Se tira un dado de seis caras y, si el resultado es impar, se saca una carta de la caja A; si el resultado es 4 o 6, se saca una carta de la caja B y, si el resultado es 2, se saca una carta de la caja C.

a.1) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que se obtenga una carta de copas.

a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la carta extraída es de copas, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la caja B?

b) La probabilidad de que un paracaidista novato caiga en el punto correcto es de 0,25. Si se lanza 5 veces, determine:

b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto exactamente dos veces?

b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto al menos una vez?

Nombramos los sucesos del apartado a): $A$, $B$ y $C$, sacar la carta de cada una de las tres cajas, y $P$, que la carta extraída sea de copas.

El dado tiene seis caras, así que las probabilidades de acudir a cada caja son

$P(A)=\dfrac{3}{6},\qquad P(B)=\dfrac{2}{6},\qquad P(C)=\dfrac{1}{6}$

porque hay tres resultados impares, dos resultados en $\{4,6\}$ y uno solo igual a $2$. Cada caja tiene cinco cartas, de modo que el árbol del experimento es:



$\textbf{a.1) [0,5 puntos] Calcule la probabilidad de que se obtenga una carta de copas.}$

Aplicamos el teorema de la probabilidad total, sumando las tres ramas que acaban en copas.

$P(P)=P(A)\cdot P(P\mid A)+P(B)\cdot P(P\mid B)+P(C)\cdot P(P\mid C)$

$P(P)=\dfrac{3}{6}\cdot\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{6}\cdot\dfrac{1}{5}=\dfrac{9}{30}+\dfrac{4}{30}+\dfrac{1}{30}$

$P(P)=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15}\approx0{,}4667$

La probabilidad de obtener una carta de copas es $\dfrac{7}{15}\approx0{,}4667$, es decir, un $46{,}67\%$.

$\textbf{a.2) [0,75 puntos] Sabiendo que la carta extraída es de copas, ¿cuál es la probabilidad de que se haya extraído de la caja B?}$

Ahora hay que invertir el condicionamiento del árbol, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(B\mid P)=\dfrac{P(B)\cdot P(P\mid B)}{P(P)}=\dfrac{\frac{2}{6}\cdot\frac{2}{5}}{\frac{7}{15}}=\dfrac{\frac{4}{30}}{\frac{14}{30}}$

$P(B\mid P)=\dfrac{4}{14}=\dfrac{2}{7}\approx0{,}2857$

Sabiendo que la carta es de copas, la probabilidad de que proceda de la caja B es $\dfrac{2}{7}\approx0{,}2857$, es decir, un $28{,}57\%$.

Llamamos $X$ al número de veces que el paracaidista cae en el punto correcto. Los cinco lanzamientos son independientes y en cada uno la probabilidad de acierto es la misma, de modo que

$X\sim B(n,p)=B(5;\,0{,}25)$

$\textbf{b.1) [0,5 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto exactamente dos veces?}$

Aplicamos la función de probabilidad de la distribución binomial.

$P(X=2)=\binom{5}{2}\,0{,}25^2\,0{,}75^{3}=10\cdot0{,}0625\cdot0{,}421875$

$P(X=2)=0{,}2637$

La probabilidad de acertar exactamente dos veces es $0{,}2637$, es decir, un $26{,}37\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de que caiga en el punto correcto al menos una vez?}$

Acertar al menos una vez es el suceso contrario de no acertar ninguna, que es un único sumando y se calcula mucho más deprisa.

$P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-\binom{5}{0}\,0{,}25^0\,0{,}75^{5}$

$P(X\geq1)=1-0{,}2373=0{,}7627$

La probabilidad de que caiga en el punto correcto al menos una vez es $0{,}7627$, es decir, un $76{,}27\%$.