Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule el siguiente límite: $\lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x}$.

b) En un mazo hay 40 cartas. De estas, 4 están marcadas solo con un punto verde, 5 solo con un punto rojo y 7 están marcadas con los dos puntos (verde y rojo).

b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas sin reemplazamiento y que ambas tengan un punto verde?

b.2) [0,75 puntos] Si saco una carta y tiene un punto verde, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también un punto rojo?

En ambos apartados se considera que una carta tiene un punto verde si tiene solo un punto verde o también si tiene un punto verde y otro rojo.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule el siguiente límite: } \boldsymbol{\lim_{x \to -2} \dfrac{x^3 + 2x^2 + x + 2}{x^2 + 2x}}\textbf{.}$

Al sustituir aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, lo que indica que $x=-2$ es raíz del numerador y del denominador. Factorizamos los dos para simplificar.

$x^3+2x^2+x+2=x^2(x+2)+(x+2)=(x+2)(x^2+1)$

$x^2+2x=x(x+2)$

$\lim_{x\to-2}\dfrac{(x+2)(x^2+1)}{x(x+2)}=\lim_{x\to-2}\dfrac{x^2+1}{x}$

$=\dfrac{(-2)^2+1}{-2}=\dfrac{5}{-2}=-\dfrac{5}{2}$

El límite vale $-\dfrac{5}{2}=-2{,}5$.

$\textbf{b.1) [0,75 puntos] ¿Cuál es la probabilidad de sacar dos cartas sin reemplazamiento y que ambas tengan un punto verde?}$

Repartimos primero las cuarenta cartas en las cuatro categorías que describe el enunciado: $4$ solo con punto verde, $5$ solo con punto rojo, $7$ con los dos puntos y las $40-4-5-7=24$ restantes sin ninguna marca.



Según la aclaración final del enunciado, tienen punto verde las que solo lo llevan verde y también las que llevan los dos:

$n(V)=4+7=11$

Como la extracción es sin reemplazamiento, en la segunda carta quedan una verde menos y una carta menos en el mazo.

$P(V_1\cap V_2)=P(V_1)\cdot P(V_2\mid V_1)=\dfrac{11}{40}\cdot\dfrac{10}{39}=\dfrac{110}{1560}$

$P(V_1\cap V_2)=\dfrac{11}{156}\approx0{,}0705$

La probabilidad de que las dos cartas extraídas tengan punto verde es $\dfrac{11}{156}\approx0{,}0705$, es decir, un $7{,}05\%$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] Si saco una carta y tiene un punto verde, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también un punto rojo?}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada. Entre las cartas con punto verde, las que además llevan punto rojo son las $7$ que tienen los dos.

$P(R\mid V)=\dfrac{P(R\cap V)}{P(V)}=\dfrac{7/40}{11/40}=\dfrac{7}{11}\approx0{,}6364$

Sabiendo que la carta tiene punto verde, la probabilidad de que también tenga punto rojo es $\dfrac{7}{11}\approx0{,}6364$, es decir, un $63{,}64\%$.