Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

a) [1 punto] Calcule los coeficientes $a,\,b,\,c \in \mathbb{R}$ de la función $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa $x = 2$ y un punto de inflexión en $P(1,2)$. Justifique su respuesta.

b) Sean dos sucesos $A$ y $B$ tales que $P(A) = 0{,}2$; $P(A \cap B) = 0{,}1$ y $P(A \cup B) = 0{,}3$. Calcule:

b.1) [0,75 puntos] $P(B)$ y $P(A \cap \overline{B})$, con $\overline{B}$ el suceso complementario de $B$.

b.2) [0,75 puntos] $P(A \mid B)$ y $P(B \mid A)$.

$\textbf{a) [1 punto] Calcule los coeficientes } \boldsymbol{a,\,b,\,c \in \mathbb{R}}\textbf{ de la función } \boldsymbol{f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c}\textbf{ tal que tenga un extremo relativo en el punto de abscisa } \boldsymbol{x = 2}\textbf{ y un punto de inflexión en } \boldsymbol{P(1,2)}\textbf{. Justifique su respuesta.}$

Traducimos las tres condiciones del enunciado a tres ecuaciones. Necesitamos las dos primeras derivadas.

$f'(x)=3x^2+2ax+b,\qquad f''(x)=6x+2a$

i) En un extremo relativo la derivada primera se anula:

$f'(2)=0\Rightarrow 12+4a+b=0$

ii) En un punto de inflexión se anula la derivada segunda:

$f''(1)=0\Rightarrow 6+2a=0\Rightarrow a=-3$

iii) El punto de inflexión está en la gráfica, luego $f(1)=2$:

$1+a+b+c=2$

Sustituyendo $a=-3$ en la primera ecuación, $12-12+b=0\Rightarrow b=0$, y llevando ambos valores a la tercera, $1-3+0+c=2\Rightarrow c=4$.

Comprobamos que las condiciones son realmente las pedidas: $f'''(x)=6\neq0$, de modo que en $x=1$ hay verdadero punto de inflexión, y $f''(2)=12-6=6\neq0$, de modo que en $x=2$ hay verdadero extremo relativo (un mínimo, por ser $f''(2)>0$).

Los coeficientes son $a=-3$, $b=0$ y $c=4$, es decir, $f(x)=x^3-3x^2+4$.

$\textbf{b.1) [0,75 puntos] } \boldsymbol{P(B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A \cap \overline{B})}\textbf{, con } \boldsymbol{\overline{B}}\textbf{ el suceso complementario de } \boldsymbol{B}\textbf{.}$

Despejamos $P(B)$ de la probabilidad de la unión, que relaciona los tres datos del enunciado.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}3=0{,}2+P(B)-0{,}1\Rightarrow P(B)=0{,}2$

Para la segunda probabilidad usamos que $A$ se reparte entre la parte que comparte con $B$ y la que no.

$P(A\cap\overline{B})=P(A)-P(A\cap B)=0{,}2-0{,}1=0{,}1$



Se obtiene $P(B)=0{,}2$ y $P(A\cap\overline{B})=0{,}1$.

$\textbf{b.2) [0,75 puntos] } \boldsymbol{P(A \mid B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(B \mid A)}\textbf{.}$

Aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$

$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}2}=0{,}5$

Las dos condicionadas valen $0{,}5$, como era de esperar: los dos sucesos tienen la misma probabilidad, $0{,}2$, y comparten la mitad de ella.