Ejercicio resuelto de Constante de equilibrio Kp · Química · 2022

A 1500 °C, la constante de equilibrio, $K_c$, para la reacción ${\text{H}}_2(g)+{\text{CO}}_2(g)\rightleftharpoons {\text{H}}_2\text{O}(g)+\text{CO}(g)$ vale 4,2. Para iniciarla se introducen 0,6 moles de ${\text{H}}_2$ y 0,6 moles de ${\text{CO}}_2$ en un recipiente de 4 L.

a) Calcule las concentraciones de todas las especies en el equilibrio. [1,0 punto]

b) Obtenga el valor de la $K_p$ a esa temperatura y el grado de ionización (expresado en %). [1,0 punto]

Datos: $R=\mathrm{0,082}\text{ atm}\cdot \text{L}\cdot {\text{mol}}^{-1}\cdot {\text{K}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{concentraciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{especies}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{equilibrio.}}\mathbf{\text{[1,0}}\mathbf{\text{punto]}}$

Primero, las concentraciones iniciales, dividiendo los moles entre los 4 L del recipiente:

$[{\mathrm{H}}_2{]}_0=[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2{]}_0=\frac{\mathrm{0,6}}{4}=\mathrm{0,15}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

Llamando $x$ a los moles por litro de hidrógeno que reaccionan, y como la estequiometría es 1:1:1:1, el mismo $x$ aparece en las cuatro especies:

$$	${\mathrm{H}}_2$	$\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$	${\mathrm{H}}_2\mathrm{O}$	$\mathrm{C}\mathrm{O}$ Inicial (mol/L)	0,15	0,15	0	0 Cambio (mol/L)	−x	−x	+x	+x Equilibrio (mol/L)	0,15 − x	0,15 − x	x	x

$K_c=\frac{[{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}][\mathrm{C}\mathrm{O}]}{[{\mathrm{H}}_2][\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2]}=\frac{x^2}{(\mathrm{0,15}-x{)}^2}=\mathrm{4,2}$

Los dos miembros son cuadrados perfectos, así que basta extraer la raíz y no hace falta resolver una ecuación de segundo grado:

$\frac{x}{\mathrm{0,15}-x}=\sqrt{\mathrm{4,2}}=\mathrm{2,049}$

$x=\mathrm{0,3074}-\mathrm{2,049}x\Rightarrow \mathrm{3,049}x=\mathrm{0,3074}$

$x=\mathrm{0,1008}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

Las concentraciones en el equilibrio son:

$[{\mathrm{H}}_2]=[\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2]=\mathrm{0,15}-\mathrm{0,1008}=\mathrm{0,0492}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

$[{\mathrm{H}}_2\mathrm{O}]=[\mathrm{C}\mathrm{O}]=\mathrm{0,1008}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}\mathrm{/}\mathrm{L}$

Comprobación: $(\mathrm{0,1008}\mathrm{/}\mathrm{0,0492}{)}^2=\mathrm{4,2}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Obtenga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Kp}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{grado}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ionizaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(expresado}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{\%).}}\mathbf{\text{[1,0}}\mathbf{\text{punto]}}$

La relación entre ambas constantes es:

$K_p=K_c(RT{)}^{\mathrm{\Delta }n}$

donde $\mathrm{\Delta }n$ es la variación del número de moles de gas. Aquí hay 2 moles a cada lado:

$\mathrm{\Delta }n=(1+1)-(1+1)=0$

Cualquier número elevado a cero vale 1, así que las dos constantes coinciden y ni siquiera hace falta la temperatura:

$K_p=K_c=\mathrm{4,2}$

El grado de disociación es la fracción de reactivo que ha reaccionado:

$\alpha =\frac{x}{[{\mathrm{H}}_2{]}_0}=\frac{\mathrm{0,1008}}{\mathrm{0,15}}=\mathrm{0,672}$

$\alpha =\mathrm{67,2}\mathrm{\%}$

Dos observaciones que este resultado permite hacer. La primera, que al ser $\mathrm{\Delta }n=0$ un cambio de volumen no desplazaría este equilibrio: comprimir o expandir afectaría por igual al numerador y al denominador del cociente de reacción. La segunda, que como todas las concentraciones se dividen entre el mismo volumen, el grado de disociación tampoco depende de él; el resultado habría sido el mismo en un recipiente de otro tamaño.