Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · 2023

El Sr-90 es un isótopo radiactivo que se utiliza en Radioterapia para luchar contra el cáncer. Su período de semidesintegración es de unos 28 años. Si tenemos una pastilla de este isótopo con una actividad inicial de 20 kBq. Determina:

a) La constante de desintegración radiactiva del Sr-90. [1 punto]

b) La actividad de la muestra al cabo de 45 años. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{constante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{desintegraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{radiactiva}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Sr-90.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$










El periodo de semidesintegración y la constante de desintegración están ligados por la propia ley de desintegración: al cabo de un periodo queda la mitad de los núcleos.

$T_{1\mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{\ln 2}{\lambda }}$





Se despeja la constante y se sustituye:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\ln 2}{T_{1\mathrm{/}2}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,693}}{28}}=\mathrm{0,0248}{\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$

En unidades del Sistema Internacional, dividiendo entre los segundos que tiene un año:

$\lambda ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0248}}{365\cdot 24\cdot 3600}}=\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$

La constante de desintegración del estroncio-90 vale $\mathrm{7,85}\cdot {10}^{-10}{\text{s}}^{-1}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{cabo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{45}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La actividad decae con el tiempo siguiendo la misma ley exponencial que el número de núcleos:

$A=A_0{e}^{-\lambda t}$

Se usa la constante expresada en ${\text{a}\tilde{\text{n}}\text{os}}^{-1}$, para que sea coherente con el tiempo dado en años:

$A=20\cdot e^{-\mathrm{0,0248}\cdot 45}=20\cdot e^{-\mathrm{1,114}}$

$A=20\cdot \mathrm{0,328}=\mathrm{6,57}\text{ kBq}$

Al cabo de 45 años la actividad de la muestra es de $\mathrm{6,57}\text{ kBq}$, es decir, $\mathrm{6,57}\cdot {10}^3\text{ Bq}$. El resultado es razonable: 45 años son algo más de un periodo y medio de semidesintegración, de modo que debía quedar algo menos de la tercera parte de la actividad inicial.