Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

En un estudio a 1000 estudiantes europeos, 500 saben hablar inglés, 300 saben hablar español, y 100 de ellos hablan los dos idiomas. Se elige un estudiante al azar del estudio:

a) Calcule la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. [1 punto]

Llamamos $I$ al suceso «el estudiante habla inglés» y $E$ al suceso «el estudiante habla español». Como todos los estudiantes son igual de probables, las probabilidades se obtienen dividiendo los cardinales entre el total.

$P(I)=\dfrac{500}{1000}=0{,}5\qquad P(E)=\dfrac{300}{1000}=0{,}3\qquad P(I\cap E)=\dfrac{100}{1000}=0{,}1$



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas. [1 punto]}$

Hablar alguno de los dos es la unión de los dos sucesos, que no son incompatibles porque hay quien habla los dos.

$P(I\cup E)=P(I)+P(E)-P(I\cap E)=0{,}5+0{,}3-0{,}1=0{,}7$

La probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas es $0{,}7$, es decir, un $70\%$.

$\textbf{b) Calcule la probabilidad de que hable español, sabiendo que habla inglés. [1 punto]}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P(E\,|\,I)=\dfrac{P(E\cap I)}{P(I)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}5}=0{,}2$

Sabiendo que habla inglés, la probabilidad de que hable también español es $0{,}2$, es decir, un $20\%$. Es el mismo resultado que se obtiene contando directamente: de los $500$ que hablan inglés, $100$ hablan además español.