Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2021

Un mecánico compra ruedas a dos marcas A y B. Compra el 40 % a la marca A, que tiene un 3 % de ruedas defectuosas, y compra el resto a la marca B, con un 1 % de defectuosas. El mecánico tiene que cambiar una rueda y elige una al azar.

a) Calcule la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. [1 punto]

b) Si la rueda es defectuosa, calcule la probabilidad de que sea de la marca A. [1 punto]

Llamamos $A$ y $B$ al suceso «la rueda es de esa marca» y $D$ al suceso «la rueda es defectuosa». Los datos del enunciado son:

$P(A)=0{,}4\qquad P(B)=1-0{,}4=0{,}6$

$P(D|A)=0{,}03\qquad P(D|B)=0{,}01$



$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que dicha rueda sea defectuosa. [1 punto]}$

Las dos marcas forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total sumando las ramas que acaban en $D$.

$P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)$

$P(D)=0{,}4\cdot 0{,}03+0{,}6\cdot 0{,}01=0{,}012+0{,}006=0{,}018$

La probabilidad de que la rueda elegida sea defectuosa es $0{,}018$, es decir, un $1{,}8\%$.

$\textbf{b) Si la rueda es defectuosa, calcule la probabilidad de que sea de la marca A. [1 punto]}$

Ahora se conoce el resultado de la segunda etapa y se pregunta por la primera, de modo que aplicamos el teorema de Bayes.

$P(A|D)=\dfrac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}018}=\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6667$

Sabiendo que la rueda es defectuosa, la probabilidad de que sea de la marca $A$ es $\frac23\approx 0{,}6667$, es decir, un $66{,}67\%$. Es bastante mayor que el $40\%$ de partida, porque esa marca tiene el triple de piezas defectuosas.