Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

El 50 % de los alumnos de la UEX practica «running» y el 30 % monta en bicicleta. Además, se sabe que el 70 % de los alumnos de la UEX practica uno de los dos deportes. Si seleccionamos un alumno al azar, se pide:

a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. [0,75 puntos]

b) Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running? [0,75 puntos]

c) ¿Son independientes los sucesos «practicar running» y «practicar montar en bicicleta»? [0,5 puntos]

Llamamos $R$ al suceso «el alumno practica running» y $B$ al suceso «el alumno monta en bicicleta». El enunciado dice que el $70\%$ practica uno de los dos deportes, es decir, alguno de ellos:

$P(R)=0{,}5\qquad P(B)=0{,}3\qquad P(R\cup B)=0{,}7$

De la fórmula de la probabilidad de la unión despejamos la de la intersección, que hará falta en los apartados siguientes:

$0{,}7=0{,}5+0{,}3-P(R\cap B)\Rightarrow P(R\cap B)=0{,}1$



$\textbf{a) La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes. [0,75 puntos]}$

No practicar ninguno es el suceso contrario de practicar alguno.

$P\left(\overline{R}\cap\overline{B}\right)=1-P(R\cup B)=1-0{,}7=0{,}3$

La probabilidad de que no practique ninguno de los dos deportes es $0{,}3$, es decir, un $30\%$.

$\textbf{b) Si practica el deporte de montar en bicicleta, ¿cuál es la probabilidad de que practique running? [0,75 puntos]}$

Se trata de una probabilidad condicionada, que calculamos por su definición.

$P(R\,|\,B)=\dfrac{P(R\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0{,}1}{0{,}3}=\dfrac13\approx 0{,}3333$

Sabiendo que monta en bicicleta, la probabilidad de que practique running es $\frac13\approx 0{,}3333$, es decir, un $33{,}33\%$.

$\textbf{c) ¿Son independientes los sucesos «practicar running» y «practicar montar en bicicleta»? [0,5 puntos]}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de su intersección es el producto de sus probabilidades, así que basta comparar los dos números.

$P(R)\cdot P(B)=0{,}5\cdot 0{,}3=0{,}15$

$P(R\cap B)=0{,}1\neq 0{,}15=P(R)\cdot P(B)$

Los dos sucesos no son independientes. Se ve también en el apartado anterior: $P(R|B)=0{,}3333$ no coincide con $P(R)=0{,}5$, de modo que saber que monta en bicicleta sí cambia la probabilidad de que practique running.